微积分学示例

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (θ)$

解题步骤 1

使用正切的定义求单位圆直角三角形的已知边。象限将决定每一个值的符号。

$\tan (θ) = \frac{对边}{相邻}$

解题步骤 2

求单位圆三角形的斜边。由于已知相对边和相邻边，所以可以使用勾股定理求第三条边。

$斜边 = \sqrt{{对边}^{2} + {相邻}^{2}}$

解题步骤 3

替换方程中的已知值。

$斜边 = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(3)}^{2}}$

解题步骤 4

化简根式内部。

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解题步骤 4.1

对 $2 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

斜边 $= \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(3)}^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

斜边 $= \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(3)}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

斜边 $= \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(3)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

斜边 $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(3)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

斜边 $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(3)}^{2}}$

解题步骤 4.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

斜边 $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(3)}^{2}}$

解题步骤 4.3.4.2

重写表达式。

斜边 $= \sqrt{4 \cdot 3 + {(3)}^{2}}$

解题步骤 4.3.5

计算指数。

斜边 $= \sqrt{4 \cdot 3 + {(3)}^{2}}$

解题步骤 4.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

斜边 $= \sqrt{12 + {(3)}^{2}}$

解题步骤 4.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

斜边 $= \sqrt{12 + 9}$

解题步骤 4.6

将 $12$ 和 $9$ 相加。

斜边 $= \sqrt{21}$

解题步骤 5

求正弦值。

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解题步骤 5.1

使用正弦的定义求 $\sin (θ)$ 的值。

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

解题步骤 5.2

代入已知值。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{21}}$

解题步骤 5.3

化简 $\sin (θ)$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

把 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{21}$ 组合为一个单根式。

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3}{21}}$

解题步骤 5.3.2

约去 $3$ 和 $21$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 (1)}{21}}$

解题步骤 5.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

从 $21$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 7}}$

解题步骤 5.3.2.2.2

约去公因数。

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 7}}$

解题步骤 5.3.2.2.3

重写表达式。

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{1}{7}}$

解题步骤 5.3.3

将 $\sqrt{\frac{1}{7}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ 。

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}})$

解题步骤 5.3.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (θ) = 2 (\frac{1}{\sqrt{7}})$

解题步骤 5.3.5

将 $\frac{1}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$\sin (θ) = 2 (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

解题步骤 5.3.6

合并和化简分母。

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解题步骤 5.3.6.1

将 $\frac{1}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

解题步骤 5.3.6.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

解题步骤 5.3.6.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

解题步骤 5.3.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})$

解题步骤 5.3.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}})$

解题步骤 5.3.6.6

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 5.3.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 5.3.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 5.3.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 5.3.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.6.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 5.3.6.6.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7})$

解题步骤 5.3.6.6.5

计算指数。

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7})$

解题步骤 5.3.7

组合 $2$ 和 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ 。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$

解题步骤 6

求余弦值。

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解题步骤 6.1

使用余弦的定义求 $\cos (θ)$ 的值。

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 6.2

代入已知值。

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{21}}$

解题步骤 6.3

化简 $\cos (θ)$ 的值。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{3}{\sqrt{21}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

解题步骤 6.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $\frac{3}{\sqrt{21}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

解题步骤 6.3.2.2

对 $\sqrt{21}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

解题步骤 6.3.2.3

对 $\sqrt{21}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

解题步骤 6.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

解题步骤 6.3.2.6

将 ${\sqrt{21}}^{2}$ 重写为 $21$ 。

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解题步骤 6.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{21}$ 重写成 $21^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.6.4.1

约去公因数。

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.2.6.4.2

重写表达式。

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21}$

解题步骤 6.3.2.6.5

计算指数。

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21}$

解题步骤 6.3.3

约去 $3$ 和 $21$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1

从 $3 \sqrt{21}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\cos (θ) = \frac{3 (\sqrt{21})}{21}$

解题步骤 6.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.1

从 $21$ 中分解出因数 $3$ 。

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{3 \cdot 7}$

解题步骤 6.3.3.2.2

约去公因数。

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{3 \cdot 7}$

解题步骤 6.3.3.2.3

重写表达式。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{21}}{7}$

解题步骤 7

组合 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 和 $\sin (θ)$ 。

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$

解题步骤 8

求余切值。

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解题步骤 8.1

使用余切的定义求 $\cot (θ)$ 的值。

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

解题步骤 8.2

代入已知值。

$\cot (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3

化简 $\cot (θ)$ 的值。

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解题步骤 8.3.1

将 $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 8.3.2.1

将 $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.2.2

移动 $\sqrt{3}$ 。

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

解题步骤 8.3.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

解题步骤 8.3.2.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

解题步骤 8.3.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.3.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 8.3.2.7

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 8.3.2.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.3.2.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.3.2.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.7.4.1

约去公因数。

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.2.7.4.2

重写表达式。

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.2.7.5

计算指数。

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.1

约去公因数。

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.3.2

重写表达式。

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9

求正割值。

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解题步骤 9.1

使用正割的定义求 $\sec (θ)$ 的值。

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

解题步骤 9.2

代入已知值。

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{21}}{3}$

解题步骤 10

求余割值。

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解题步骤 10.1

使用余割的定义求 $\csc (θ)$ 的值。

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

解题步骤 10.2

代入已知值。

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{21}}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 10.3

化简 $\csc (θ)$ 的值。

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解题步骤 10.3.1

把 $\sqrt{21}$ 和 $\sqrt{3}$ 组合为一个单根式。

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{21}{3}}}{2}$

解题步骤 10.3.2

约去 $21$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.2.1

从 $21$ 中分解出因数 $3$ 。

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3}}}{2}$

解题步骤 10.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 (1)}}}{2}$

解题步骤 10.3.2.2.2

约去公因数。

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1}}}{2}$

解题步骤 10.3.2.2.3

重写表达式。

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{7}{1}}}{2}$

解题步骤 10.3.2.2.4

用 $7$ 除以 $1$ 。

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{7}}{2}$

解题步骤 11

这是各个三角函数值的解。

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{21}}{7}$

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{21}}{3}$

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{7}}{2}$

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