微积分学示例

$f (x) = x + 2 \sin (x)$ , $(0, π)$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x + 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f' (x) = 1 + 2 \cos (x)$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $1 + 2 \cos (x)$ 。

$1 + 2 \cos (x)$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $1 + 2 \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$1 + 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 1.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \cos (x) = - 1$

解题步骤 1.2.3

将 $2 \cos (x) = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $2 \cos (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.4

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

解题步骤 1.2.5

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 1.2.6

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 1.2.7

化简 $2 π - \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 1.2.7.2

合并分数。

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解题步骤 1.2.7.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 1.2.7.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 1.2.7.3

化简分子。

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解题步骤 1.2.7.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 1.2.7.3.2

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 1.2.8

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.8.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.2.8.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.2.9

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x + 2 \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = \frac{2 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $\frac{2 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 1.4.1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{2 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 1.4.1.2.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{2 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

重写表达式。

$\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 1.4.2

在 $x = \frac{8 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $\frac{8 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{8 π}{3}) + 2 \sin (\frac{8 π}{3})$

解题步骤 1.4.2.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{8 π}{3} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 1.4.2.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{8 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 1.4.2.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{8 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.4.1

约去公因数。

$\frac{8 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.2.2.4.2

重写表达式。

$\frac{8 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 1.4.3

在 $x = \frac{14 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 1.4.3.1

代入 $\frac{14 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{14 π}{3}) + 2 \sin (\frac{14 π}{3})$

解题步骤 1.4.3.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.3.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{14 π}{3} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 1.4.3.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{14 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 1.4.3.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{14 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.2.4.1

约去公因数。

$\frac{14 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.3.2.4.2

重写表达式。

$\frac{14 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 1.4.4

在 $x = \frac{20 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 1.4.4.1

代入 $\frac{20 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{20 π}{3}) + 2 \sin (\frac{20 π}{3})$

解题步骤 1.4.4.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.4.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{20 π}{3} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 1.4.4.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{20 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 1.4.4.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{20 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.4.2.4.1

约去公因数。

$\frac{20 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.4.2.4.2

重写表达式。

$\frac{20 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 1.4.5

在 $x = \frac{26 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 1.4.5.1

代入 $\frac{26 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{26 π}{3}) + 2 \sin (\frac{26 π}{3})$

解题步骤 1.4.5.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.5.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{26 π}{3} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 1.4.5.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{26 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 1.4.5.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{26 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.5.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.5.2.4.1

约去公因数。

$\frac{26 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.5.2.4.2

重写表达式。

$\frac{26 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 1.4.6

在 $x = \frac{4 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 1.4.6.1

代入 $\frac{4 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 1.4.6.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.6.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$\frac{4 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

解题步骤 1.4.6.2.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{4 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 1.4.6.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.6.2.3.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{4 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.6.2.3.2

约去公因数。

$\frac{4 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.6.2.3.3

重写表达式。

$\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 1.4.7

在 $x = \frac{10 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 1.4.7.1

代入 $\frac{10 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{10 π}{3}) + 2 \sin (\frac{10 π}{3})$

解题步骤 1.4.7.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.7.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{10 π}{3} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 1.4.7.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$\frac{10 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

解题步骤 1.4.7.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{10 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 1.4.7.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.7.2.4.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{10 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.7.2.4.2

约去公因数。

$\frac{10 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.7.2.4.3

重写表达式。

$\frac{10 π}{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 1.4.8

在 $x = \frac{16 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 1.4.8.1

代入 $\frac{16 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{16 π}{3}) + 2 \sin (\frac{16 π}{3})$

解题步骤 1.4.8.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.8.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{16 π}{3} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 1.4.8.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$\frac{16 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

解题步骤 1.4.8.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{16 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 1.4.8.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.8.2.4.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{16 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.8.2.4.2

约去公因数。

$\frac{16 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.8.2.4.3

重写表达式。

$\frac{16 π}{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 1.4.9

在 $x = \frac{22 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 1.4.9.1

代入 $\frac{22 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{22 π}{3}) + 2 \sin (\frac{22 π}{3})$

解题步骤 1.4.9.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.9.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{22 π}{3} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 1.4.9.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$\frac{22 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

解题步骤 1.4.9.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{22 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 1.4.9.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.9.2.4.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{22 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.9.2.4.2

约去公因数。

$\frac{22 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.9.2.4.3

重写表达式。

$\frac{22 π}{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 1.4.10

在 $x = \frac{28 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 1.4.10.1

代入 $\frac{28 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{28 π}{3}) + 2 \sin (\frac{28 π}{3})$

解题步骤 1.4.10.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.10.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{28 π}{3} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 1.4.10.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$\frac{28 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

解题步骤 1.4.10.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{28 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 1.4.10.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.10.2.4.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{28 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.10.2.4.2

约去公因数。

$\frac{28 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.10.2.4.3

重写表达式。

$\frac{28 π}{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 1.4.11

列出所有的点。

$(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{8 π}{3}, \frac{8 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{14 π}{3}, \frac{14 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{20 π}{3}, \frac{20 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{26 π}{3}, \frac{26 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{4 π}{3}, \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{10 π}{3}, \frac{10 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{16 π}{3}, \frac{16 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{22 π}{3}, \frac{22 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{28 π}{3}, \frac{28 π}{3} - \sqrt{3})$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} + \sqrt{3})$

解题步骤 3

使用一阶导数判别法来确定哪些点可能有极大值或极小值。

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解题步骤 3.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, \frac{2 π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}) \cup (\frac{4 π}{3}, \frac{8 π}{3}) \cup (\frac{8 π}{3}, \frac{10 π}{3}) \cup (\frac{10 π}{3}, \frac{14 π}{3}) \cup (\frac{14 π}{3}, \frac{16 π}{3}) \cup (\frac{16 π}{3}, \frac{20 π}{3}) \cup (\frac{20 π}{3}, \frac{22 π}{3}) \cup (\frac{22 π}{3}, \frac{26 π}{3}) \cup (\frac{26 π}{3}, \frac{28 π}{3}) \cup (\frac{28 π}{3}, \infty)$

解题步骤 3.2

将区间 $(- \infty, \frac{2 π}{3})$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $1 + 2 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = 1 + 2 \cos (0)$

解题步骤 3.2.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f' (0) = 1 + 2 \cdot 1$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (0) = 1 + 2$

解题步骤 3.2.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (0) = 3$

解题步骤 3.2.2.3

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 3.3

将区间 $(\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3})$ 内的任一数字（例如 $3$ ）代入一阶导数 $1 + 2 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = 1 + 2 \cos (3)$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

计算 $\cos (3)$ 。

$f' (3) = 1 + 2 \cdot - 0.98999249$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 0.98999249$ 。

$f' (3) = 1 - 1.97998499$

解题步骤 3.3.2.2

从 $1$ 中减去 $1.97998499$ 。

$f' (3) = - 0.97998499$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $- 0.97998499$ 。

$- 0.97998499$

解题步骤 3.4

将区间 $(\frac{4 π}{3}, \frac{8 π}{3})$ 内的任一数字（例如 $6$ ）代入一阶导数 $1 + 2 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.4.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6) = 1 + 2 \cos (6)$

解题步骤 3.4.2

化简结果。

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解题步骤 3.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.1

计算 $\cos (6)$ 。

$f' (6) = 1 + 2 \cdot 0.96017028$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $0.96017028$ 。

$f' (6) = 1 + 1.92034057$

解题步骤 3.4.2.2

将 $1$ 和 $1.92034057$ 相加。

$f' (6) = 2.92034057$

解题步骤 3.4.2.3

最终答案为 $2.92034057$ 。

$2.92034057$

解题步骤 3.5

将区间 $(\frac{8 π}{3}, \frac{10 π}{3})$ 内的任一数字（例如 $9$ ）代入一阶导数 $1 + 2 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.5.1

使用表达式中的 $9$ 替换变量 $x$ 。

$f' (9) = 1 + 2 \cos (9)$

解题步骤 3.5.2

化简结果。

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解题步骤 3.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1.1

计算 $\cos (9)$ 。

$f' (9) = 1 + 2 \cdot - 0.91113026$

解题步骤 3.5.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 0.91113026$ 。

$f' (9) = 1 - 1.82226052$

解题步骤 3.5.2.2

从 $1$ 中减去 $1.82226052$ 。

$f' (9) = - 0.82226052$

解题步骤 3.5.2.3

最终答案为 $- 0.82226052$ 。

$- 0.82226052$

解题步骤 3.6

将区间 $(\frac{10 π}{3}, \frac{14 π}{3})$ 内的任一数字（例如 $13$ ）代入一阶导数 $1 + 2 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.6.1

使用表达式中的 $13$ 替换变量 $x$ 。

$f' (13) = 1 + 2 \cos (13)$

解题步骤 3.6.2

化简结果。

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解题步骤 3.6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.2.1.1

计算 $\cos (13)$ 。

$f' (13) = 1 + 2 \cdot 0.90744678$

解题步骤 3.6.2.1.2

将 $2$ 乘以 $0.90744678$ 。

$f' (13) = 1 + 1.81489356$

解题步骤 3.6.2.2

将 $1$ 和 $1.81489356$ 相加。

$f' (13) = 2.81489356$

解题步骤 3.6.2.3

最终答案为 $2.81489356$ 。

$2.81489356$

解题步骤 3.7

将区间 $(\frac{14 π}{3}, \frac{16 π}{3})$ 内的任一数字（例如 $16$ ）代入一阶导数 $1 + 2 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.7.1

使用表达式中的 $16$ 替换变量 $x$ 。

$f' (16) = 1 + 2 \cos (16)$

解题步骤 3.7.2

化简结果。

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解题步骤 3.7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.7.2.1.1

计算 $\cos (16)$ 。

$f' (16) = 1 + 2 \cdot - 0.95765948$

解题步骤 3.7.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 0.95765948$ 。

$f' (16) = 1 - 1.91531896$

解题步骤 3.7.2.2

从 $1$ 中减去 $1.91531896$ 。

$f' (16) = - 0.91531896$

解题步骤 3.7.2.3

最终答案为 $- 0.91531896$ 。

$- 0.91531896$

解题步骤 3.8

将区间 $(\frac{16 π}{3}, \frac{20 π}{3})$ 内的任一数字（例如 $19$ ）代入一阶导数 $1 + 2 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.8.1

使用表达式中的 $19$ 替换变量 $x$ 。

$f' (19) = 1 + 2 \cos (19)$

解题步骤 3.8.2

化简结果。

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解题步骤 3.8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.8.2.1.1

计算 $\cos (19)$ 。

$f' (19) = 1 + 2 \cdot 0.98870461$

解题步骤 3.8.2.1.2

将 $2$ 乘以 $0.98870461$ 。

$f' (19) = 1 + 1.97740923$

解题步骤 3.8.2.2

将 $1$ 和 $1.97740923$ 相加。

$f' (19) = 2.97740923$

解题步骤 3.8.2.3

最终答案为 $2.97740923$ 。

$2.97740923$

解题步骤 3.9

将区间 $(\frac{20 π}{3}, \frac{22 π}{3})$ 内的任一数字（例如 $22$ ）代入一阶导数 $1 + 2 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.9.1

使用表达式中的 $22$ 替换变量 $x$ 。

$f' (22) = 1 + 2 \cos (22)$

解题步骤 3.9.2

化简结果。

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解题步骤 3.9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.9.2.1.1

计算 $\cos (22)$ 。

$f' (22) = 1 + 2 \cdot - 0.99996082$

解题步骤 3.9.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 0.99996082$ 。

$f' (22) = 1 - 1.99992165$

解题步骤 3.9.2.2

从 $1$ 中减去 $1.99992165$ 。

$f' (22) = - 0.99992165$

解题步骤 3.9.2.3

最终答案为 $- 0.99992165$ 。

$- 0.99992165$

解题步骤 3.10

将区间 $(\frac{22 π}{3}, \frac{26 π}{3})$ 内的任一数字（例如 $25$ ）代入一阶导数 $1 + 2 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.10.1

使用表达式中的 $25$ 替换变量 $x$ 。

$f' (25) = 1 + 2 \cos (25)$

解题步骤 3.10.2

化简结果。

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解题步骤 3.10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.10.2.1.1

计算 $\cos (25)$ 。

$f' (25) = 1 + 2 \cdot 0.99120281$

解题步骤 3.10.2.1.2

将 $2$ 乘以 $0.99120281$ 。

$f' (25) = 1 + 1.98240562$

解题步骤 3.10.2.2

将 $1$ 和 $1.98240562$ 相加。

$f' (25) = 2.98240562$

解题步骤 3.10.2.3

最终答案为 $2.98240562$ 。

$2.98240562$

解题步骤 3.11

将区间 $(\frac{26 π}{3}, \frac{28 π}{3})$ 内的任一数字（例如 $28$ ）代入一阶导数 $1 + 2 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.11.1

使用表达式中的 $28$ 替换变量 $x$ 。

$f' (28) = 1 + 2 \cos (28)$

解题步骤 3.11.2

化简结果。

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解题步骤 3.11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.11.2.1.1

计算 $\cos (28)$ 。

$f' (28) = 1 + 2 \cdot - 0.96260586$

解题步骤 3.11.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 0.96260586$ 。

$f' (28) = 1 - 1.92521173$

解题步骤 3.11.2.2

从 $1$ 中减去 $1.92521173$ 。

$f' (28) = - 0.92521173$

解题步骤 3.11.2.3

最终答案为 $- 0.92521173$ 。

$- 0.92521173$

解题步骤 3.12

将区间 $(\frac{28 π}{3}, \infty)$ 内的任一数字（例如 $32$ ）代入一阶导数 $1 + 2 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.12.1

使用表达式中的 $32$ 替换变量 $x$ 。

$f' (32) = 1 + 2 \cos (32)$

解题步骤 3.12.2

化简结果。

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解题步骤 3.12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.12.2.1.1

计算 $\cos (32)$ 。

$f' (32) = 1 + 2 \cdot 0.83422336$

解题步骤 3.12.2.1.2

将 $2$ 乘以 $0.83422336$ 。

$f' (32) = 1 + 1.66844672$

解题步骤 3.12.2.2

将 $1$ 和 $1.66844672$ 相加。

$f' (32) = 2.66844672$

解题步骤 3.12.2.3

最终答案为 $2.66844672$ 。

$2.66844672$

解题步骤 3.13

由于一阶导数在 $x = \frac{2 π}{3}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = \frac{2 π}{3}$ 是极大值。

$x = \frac{2 π}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 3.14

由于一阶导数在 $x = \frac{4 π}{3}$ 周围从负号变为正号，因此 $x = \frac{4 π}{3}$ 是极小值。

$x = \frac{4 π}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 3.15

由于一阶导数在 $x = \frac{8 π}{3}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = \frac{8 π}{3}$ 是极大值。

$x = \frac{8 π}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 3.16

由于一阶导数在 $x = \frac{10 π}{3}$ 周围从负号变为正号，因此 $x = \frac{10 π}{3}$ 是极小值。

$x = \frac{10 π}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 3.17

由于一阶导数在 $x = \frac{14 π}{3}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = \frac{14 π}{3}$ 是极大值。

$x = \frac{14 π}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 3.18

由于一阶导数在 $x = \frac{16 π}{3}$ 周围从负号变为正号，因此 $x = \frac{16 π}{3}$ 是极小值。

$x = \frac{16 π}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 3.19

由于一阶导数在 $x = \frac{20 π}{3}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = \frac{20 π}{3}$ 是极大值。

$x = \frac{20 π}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 3.20

由于一阶导数在 $x = \frac{22 π}{3}$ 周围从负号变为正号，因此 $x = \frac{22 π}{3}$ 是极小值。

$x = \frac{22 π}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 3.21

由于一阶导数在 $x = \frac{26 π}{3}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = \frac{26 π}{3}$ 是极大值。

$x = \frac{26 π}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 3.22

由于一阶导数在 $x = \frac{28 π}{3}$ 周围从负号变为正号，因此 $x = \frac{28 π}{3}$ 是极小值。

$x = \frac{28 π}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 3.23

这些是 $f (x) = x + 2 \sin (x)$ 的局部极值。

$x = \frac{2 π}{3}$ 是一个极大值

$x = \frac{4 π}{3}$ 是一个极小值

$x = \frac{8 π}{3}$ 是一个极大值

$x = \frac{10 π}{3}$ 是一个极小值

$x = \frac{14 π}{3}$ 是一个极大值

$x = \frac{16 π}{3}$ 是一个极小值

$x = \frac{20 π}{3}$ 是一个极大值

$x = \frac{22 π}{3}$ 是一个极小值

$x = \frac{26 π}{3}$ 是一个极大值

$x = \frac{28 π}{3}$ 是一个极小值

$x = \frac{2 π}{3}$ 是一个极大值

$x = \frac{4 π}{3}$ 是一个极小值

$x = \frac{8 π}{3}$ 是一个极大值

$x = \frac{10 π}{3}$ 是一个极小值

$x = \frac{14 π}{3}$ 是一个极大值

$x = \frac{16 π}{3}$ 是一个极小值

$x = \frac{20 π}{3}$ 是一个极大值

$x = \frac{22 π}{3}$ 是一个极小值

$x = \frac{26 π}{3}$ 是一个极大值

$x = \frac{28 π}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} + \sqrt{3})$

没有绝对最小值

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例