微积分学示例

$y = 8 x e^{x}$ , $(0, 0)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 x e^{x})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$8 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$8 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

解题步骤 3.4.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$8 (x e^{x} + e^{x})$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$8 (x e^{x}) + 8 e^{x}$

解题步骤 3.5.2

重新排序项。

$8 e^{x} x + 8 e^{x}$

解题步骤 3.5.3

将 $8 e^{x} x + 8 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$8 x e^{x} + 8 e^{x}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 8 x e^{x} + 8 e^{x}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 8 x e^{x} + 8 e^{x}$

解题步骤 6

使用表达式中的 $0$ 替换 $x$ ，使用 $0$ 替换 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = 8 (0) e^{0} + 8 e^{0}$

解题步骤 7

化简结果。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$0 e^{0} + 8 e^{0}$

解题步骤 7.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 \cdot 1 + 8 e^{0}$

解题步骤 7.1.3

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + 8 e^{0}$

解题步骤 7.1.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 8 \cdot 1$

解题步骤 7.1.5

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$0 + 8$

解题步骤 7.2

将 $0$ 和 $8$ 相加。

$8$

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