微积分学示例

$3 \sin (y) + x = y^{2}$ ; $(π^{2}, π)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (3 \sin (y) + x) = \frac{d}{d y} (y^{2})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 \sin (y) + x$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3 \sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ 。

$\frac{d}{d y} [3 \sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d y} [3 \sin (y)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 \sin (y)$ 对 $y$ 的导数是 $3 \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ 。

$3 \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 2.2.2

$\sin (y)$ 对 $y$ 的导数为 $\cos (y)$ 。

$3 \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$3 \cos (y) + x'$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$x' + 3 \cos (y)$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 y$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x' + 3 \cos (y) = 2 y$

解题步骤 5

从等式两边同时减去 $3 \cos (y)$ 。

$x' = 2 y - 3 \cos (y)$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = 2 y - 3 \cos (y)$

解题步骤 7

使用表达式中的 $p^{2}$ 替换 $x$ ，使用 $p$ 替换 $y$ 。

$\frac{d x}{d y} = 2 (p) - 3 \cos (p)$

解题步骤 8

将 $2$ 乘以 $p$ 。

$2 p - 3 \cos (p)$

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