微积分学示例

$2 \sec (θ) + \tan (θ)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $2 \sec (θ) + \tan (θ)$ 对 $θ$ 的导数是 $\frac{d}{d θ} [2 \sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$ 。

$f' (θ) = \frac{d}{d θ} (2 \sec (θ)) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d θ} [2 \sec (θ)]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $2 \sec (θ)$ 对 $θ$ 的导数是 $2 \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$ 。

$f' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\sec (θ)) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

解题步骤 1.1.2.2

$\sec (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\sec (θ) \tan (θ)$ 。

$f' (θ) = 2 \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

解题步骤 1.1.3

$\tan (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\sec^{2} (θ)$ 。

$f' (θ) = 2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$

解题步骤 1.2

$f (θ)$ 对 $θ$ 的一阶导数是 $2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$ 。

$2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) = 0$

解题步骤 2.2

使用基于 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式的 $1 + \tan^{2} (θ)$ 替换 $\sec^{2} (θ)$ 。

$2 \sec (θ) \tan (θ) (1 + \tan^{2} (θ)) = 0$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$2 \sec (θ) \tan (θ) \cdot 1 + 2 \sec (θ) \tan (θ) \tan^{2} (θ) = 0$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ) \tan^{2} (θ) = 0$

解题步骤 2.5

通过指数相加将 $\tan (θ)$ 乘以 $\tan^{2} (θ)$ 。

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解题步骤 2.5.1

移动 $\tan^{2} (θ)$ 。

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) (\tan^{2} (θ) \tan (θ)) = 0$

解题步骤 2.5.2

将 $\tan^{2} (θ)$ 乘以 $\tan (θ)$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

对 $\tan (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) (\tan^{2} (θ) \tan (θ)) = 0$

解题步骤 2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) {\tan (θ)}^{2 + 1} = 0$

解题步骤 2.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) = 0$

解题步骤 2.6

重新排列多项式。

$2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ) = 0$

解题步骤 2.7

化简左边。

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解题步骤 2.7.1

化简 $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ)$ 。

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解题步骤 2.7.1.1

从 $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ)$ 中分解出因数 $2 \sec (θ) \tan (θ)$ 。

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解题步骤 2.7.1.1.1

从 $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ)$ 中分解出因数 $2 \sec (θ) \tan (θ)$ 。

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) = 0$

解题步骤 2.7.1.1.2

从 $2 \sec (θ) \tan (θ)$ 中分解出因数 $2 \sec (θ) \tan (θ)$ 。

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) (1) = 0$

解题步骤 2.7.1.1.3

从 $2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) (1)$ 中分解出因数 $2 \sec (θ) \tan (θ)$ 。

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ) + 1) = 0$

解题步骤 2.7.1.2

使用勾股恒等式。

$2 \sec (θ) \tan (θ) \sec^{2} (θ) = 0$

解题步骤 2.7.1.3

通过指数相加将 $\sec (θ)$ 乘以 $\sec^{2} (θ)$ 。

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解题步骤 2.7.1.3.1

移动 $\sec^{2} (θ)$ 。

$2 (\sec^{2} (θ) \sec (θ)) \tan (θ) = 0$

解题步骤 2.7.1.3.2

将 $\sec^{2} (θ)$ 乘以 $\sec (θ)$ 。

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解题步骤 2.7.1.3.2.1

对 $\sec (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ) = 0$

解题步骤 2.7.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 {\sec (θ)}^{2 + 1} \tan (θ) = 0$

解题步骤 2.7.1.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) = 0$

解题步骤 2.8

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sec^{3} (θ) = 0$

$\tan (θ) = 0$

解题步骤 2.9

将 $\sec^{3} (θ)$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 2.9.1

将 $\sec^{3} (θ)$ 设为等于 $0$ 。

$\sec^{3} (θ) = 0$

解题步骤 2.9.2

求解 $θ$ 的 $\sec^{3} (θ) = 0$ 。

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解题步骤 2.9.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (θ) = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 2.9.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 2.9.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\sec (θ) = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 2.9.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$\sec (θ) = 0$

解题步骤 2.9.2.3

正割函数的值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。因为 $0$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 2.10

将 $\tan (θ)$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 2.10.1

将 $\tan (θ)$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (θ) = 0$

解题步骤 2.10.2

求解 $θ$ 的 $\tan (θ) = 0$ 。

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解题步骤 2.10.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (0)$

解题步骤 2.10.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.10.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$θ = 0$

解题步骤 2.10.2.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$θ = π + 0$

解题步骤 2.10.2.4

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$θ = π$

解题步骤 2.10.2.5

求 $\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 2.10.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 2.10.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 2.10.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 2.10.2.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.10.2.6

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$θ = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.11

最终解为使 $2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) = 0$ 成立的所有值。

$θ = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.12

合并答案。

$θ = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\sec (θ)$ 的自变量设为等于 $\frac{π}{2} + π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$θ = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.2

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

${θ | θ = \frac{π}{2} + π n}$ , $n$ ，对任何整数 $n$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $θ$ 值，计算 $2 \sec (θ) + \tan (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $θ = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $θ$ 。

$2 \sec (0) + \tan (0)$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \cdot 1 + \tan (0)$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \tan (0)$

解题步骤 4.1.2.1.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 4.1.2.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 4.2

在 $θ = π$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $π$ 替换 $θ$ 。

$2 \sec (π) + \tan (π)$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$2 (- \sec (0)) + \tan (π)$

解题步骤 4.2.2.1.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 (- 1 \cdot 1) + \tan (π)$

解题步骤 4.2.2.1.3

乘以 $2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \cdot - 1 + \tan (π)$

解题步骤 4.2.2.1.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 + \tan (π)$

解题步骤 4.2.2.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$- 2 - \tan (0)$

解题步骤 4.2.2.1.5

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 2 - 0$

解题步骤 4.2.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 2 + 0$

解题步骤 4.2.2.2

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$- 2$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(0 + 2 π n, 2), (π + 2 π n, - 2)$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

微积分学 示例

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