微积分学示例

$3 {(6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4})}^{2} (- 5 - 4 x + 28 x^{3})$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int {(6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4})}^{2} (- 5 - 4 x + 28 x^{3}) d x$

解题步骤 2

使 $u = 6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ 。然后使 $d u = (- 5 - 4 x + 28 x^{3}) d x$ ，以便 $\frac{1}{- 5 - 4 x + 28 x^{3}} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

设 $u = 6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

对 $6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$0 - 5 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - 5 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - 5 - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$0 - 5 - 4 x + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

解题步骤 2.1.5

计算 $\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.5.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$0 - 5 - 4 x + 7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$0 - 5 - 4 x + 7 (4 x^{3})$

解题步骤 2.1.5.3

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$0 - 5 - 4 x + 28 x^{3}$

解题步骤 2.1.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.6.1

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$- 5 - 4 x + 28 x^{3}$

解题步骤 2.1.6.2

重新排序项。

$28 x^{3} - 4 x - 5$

解题步骤 2.1.7

重新整理项。

$- 4 x - 5 + 28 x^{3}$

解题步骤 2.1.8

重新整理项。

$- 5 - 4 x + 28 x^{3}$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$3 \int u^{2} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ 重写为 $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ 。

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

解题步骤 4.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

解题步骤 4.2.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

解题步骤 4.2.2.2

重写表达式。

$1 u^{3} + C$

解题步骤 4.2.3

将 $u^{3}$ 乘以 $1$ 。

$u^{3} + C$

解题步骤 5

使用 $6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

${(6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4})}^{3} + C$

微积分学 示例

微积分学示例