微积分学示例

$\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{1 + t^{3}} d t$

解题步骤 1

化简分母。

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解题步骤 1.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{1^{3} + t^{3}} d t]$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = t$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

解题步骤 1.3.2

将 $- 1 t$ 重写为 $- t$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

解题步骤 2

使用微积分基本定理，取 $\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

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