微积分学示例

$\int_{- k}^{k} \sqrt{k^{2} - x^{2}} d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{k^{2} - x^{2}}$ 重写成 ${(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

解题步骤 2

将积分拆分为两个积分，其中 $c$ 是 $- k$ 和 $k$ 之间的某个值。

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

解题步骤 3

根据加法法则， $\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ 对 $k$ 的导数是 $\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$ 。

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

解题步骤 4

交换积分的上下界。

$\frac{d}{d k} [- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

解题步骤 5

使用微积分基本定理和链式法则，取 $- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ 对 $k$ 的导数。

$\frac{d}{d k} [- k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

解题步骤 6

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

因为 $- 1$ 对于 $k$ 是常数，所以 $- k$ 对 $k$ 的导数是 $- \frac{d}{d k} [k]$ 。

$- \frac{d}{d k} [k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ 等于 $n k^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1 (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

解题步骤 6.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

解题步骤 7

使用微积分基本定理，取 $\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ 对 $k$ 的导数。

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

从 $- k$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- - {(k^{2} - {(- (k))}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

对 $- (k)$ 运用乘积法则。

$- - {(k^{2} - ({(- 1)}^{2} k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- - {(k^{2} - (1 k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.2.3

将 $k^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- - {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.3

从 $k^{2}$ 中减去 $k^{2}$ 。

$- - 0^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.4.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$- - {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.5.1

约去公因数。

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.5.2

重写表达式。

$- - 0^{1} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.6

计算指数。

$- - 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.7

乘以零。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.7.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.7.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.8

从 $k^{2}$ 中减去 $k^{2}$ 。

$0 + 0^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.9

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.9.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$0 + {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 8.10

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.10.1

约去公因数。

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 8.10.2

重写表达式。

$0 + 0^{1}$

解题步骤 8.11

计算指数。

$0 + 0$

解题步骤 8.12

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

微积分学 示例

微积分学示例