微积分学示例

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $\sin (x) - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 1.1.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.1.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\cos (x) - - \sin (x)$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

解题步骤 1.1.1.3.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \cos (x) + \sin (x)$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $\cos (x) + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \sin (x) + \cos (x)$ 。

$- \sin (x) + \cos (x)$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

解题步骤 1.2.2

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.3

分离分数。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.4

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.5

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.6

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.1

约去公因数。

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.6.2

重写表达式。

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.7

分离分数。

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.8

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 1.2.9

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

解题步骤 1.2.10

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$- \tan (x) + 1 = 0$

解题步骤 1.2.11

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \tan (x) = - 1$

解题步骤 1.2.12

将 $- \tan (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.12.1

将 $- \tan (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.2.12.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.12.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.2.12.2.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.2.12.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.12.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\tan (x) = 1$

解题步骤 1.2.13

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (1)$

解题步骤 1.2.14

化简右边。

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解题步骤 1.2.14.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.15

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.16

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 1.2.16.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.16.2

合并分数。

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解题步骤 1.2.16.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.16.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 1.2.16.3

化简分子。

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解题步骤 1.2.16.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 1.2.16.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 1.2.17

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.17.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 1.2.17.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.17.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 1.2.17.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 1.2.18

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = - \sin (0) + \cos (0)$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f'' (0) = - 0 + \cos (0)$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 + \cos (0)$

解题步骤 4.2.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f'' (0) = 0 + 1$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f'' (0) = 1$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 5

微积分学 示例

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