微积分学示例

$f (x) = 10 x - 10 e^{- x}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $10 x - 10 e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [10 x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$10 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$10 - 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$10 - 10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$10 - 10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 1.1.1.3.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$10 - 10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 1.1.1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$10 - 10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 - 10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 1.1.1.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$10 - 10 (e^{- x} \cdot - 1)$

解题步骤 1.1.1.3.6

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$10 - 10 (- 1 \cdot e^{- x})$

解题步骤 1.1.1.3.7

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$10 - 10 (- e^{- x})$

解题步骤 1.1.1.3.8

将 $- 1$ 乘以 $- 10$ 。

$10 + 10 e^{- x}$

解题步骤 1.1.1.4

重新排序项。

$f' (x) = 10 e^{- x} + 10$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $10 e^{- x} + 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$ 。

$\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$10 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.2.2.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.2.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.2.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$10 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.2.2.6

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$10 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.2.2.7

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$10 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.2.2.8

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$- 10 e^{- x} + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.2.3.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 10 e^{- x} + 0$

解题步骤 1.1.2.3.2

将 $- 10 e^{- x}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 10 e^{- x}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 10 e^{- x}$ 。

$- 10 e^{- x}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 10 e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 10 e^{- x} = 0$

解题步骤 1.2.2

将 $- 10 e^{- x} = 0$ 中的每一项除以 $- 10$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $- 10 e^{- x} = 0$ 中的每一项都除以 $- 10$ 。

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去 $- 10$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

用 $e^{- x}$ 除以 $1$ 。

$e^{- x} = \frac{0}{- 10}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

用 $0$ 除以 $- 10$ 。

$e^{- x} = 0$

解题步骤 1.2.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

解题步骤 1.2.4

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 1.2.5

$e^{- x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

因为二阶导数是负数，所以图像向下凹。

图像向下凹

解题步骤 4

微积分学 示例

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