微积分学示例

$x^{2} + y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$

解题步骤 1

将 $x^{2} + y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2} + y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{2} + y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.1.3

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $x$ 的导数是 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 0 - y + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [10 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 0 - y + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 0 - y + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.3.3

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 0 - y + 10 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0 - y + 10 + 0 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.4.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0 - y + 10 + 0 + 0$

解题步骤 2.5

合并项。

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解题步骤 2.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x - y + 10 + 0 + 0$

解题步骤 2.5.2

将 $2 x - y + 10$ 和 $0$ 相加。

$2 x - y + 10 + 0$

解题步骤 2.5.3

将 $2 x - y + 10$ 和 $0$ 相加。

$2 x - y + 10$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 x - y + 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [10]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (10)$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (10)$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (10)$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (10)$

解题步骤 3.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 + 0 + \frac{d}{d x} (10)$

解题步骤 3.3.2

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 + 0 + 0$

解题步骤 3.4

合并项。

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解题步骤 3.4.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2 x - y + 10 = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

求微分。

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解题步骤 5.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5.1.1.3

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x y]$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $x$ 的导数是 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 0 - y + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [10 x]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 0 - y + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 0 - y + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5.1.3.3

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 0 - y + 10 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $- 2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0 - y + 10 + 0 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5.1.4.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0 - y + 10 + 0 + 0$

解题步骤 5.1.5

合并项。

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解题步骤 5.1.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x - y + 10 + 0 + 0$

解题步骤 5.1.5.2

将 $2 x - y + 10$ 和 $0$ 相加。

$2 x - y + 10 + 0$

解题步骤 5.1.5.3

将 $2 x - y + 10$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 x - y + 10$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x - y + 10$ 。

$2 x - y + 10$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x - y + 10 = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x - y + 10 = 0$

解题步骤 6.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $y$ 。

$2 x + 10 = y$

解题步骤 6.2.2

从等式两边同时减去 $10$ 。

$2 x = y - 10$

解题步骤 6.3

将 $2 x = y - 10$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $2 x = y - 10$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- 10}{2}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- 10}{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{y}{2} + \frac{- 10}{2}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

用 $- 10$ 除以 $2$ 。

$x = \frac{y}{2} - 5$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = \frac{y}{2} - 5$

解题步骤 9

计算在 $x = \frac{y}{2} - 5$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{y}{2} - 5$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{y}{2} - 5$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = \frac{y}{2} - 5$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{y}{2} - 5$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = {(\frac{y}{2} - 5)}^{2} + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

将 ${(\frac{y}{2} - 5)}^{2}$ 重写为 $(\frac{y}{2} - 5) (\frac{y}{2} - 5)$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = (\frac{y}{2} - 5) (\frac{y}{2} - 5) + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{y}{2} - 5) (\frac{y}{2} - 5)$ 。

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解题步骤 11.2.1.2.1

运用分配律。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y}{2} \cdot (\frac{y}{2} - 5) - 5 (\frac{y}{2} - 5) + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.2.2

运用分配律。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 (\frac{y}{2} - 5) + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.2.3

运用分配律。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 11.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.3.1.1

乘以 $\frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2}$ 。

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解题步骤 11.2.1.3.1.1.1

将 $\frac{y}{2}$ 乘以 $\frac{y}{2}$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y \cdot y}{2 \cdot 2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.3.1.1.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y \cdot y}{2 \cdot 2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.3.1.1.3

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y \cdot y}{2 \cdot 2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.3.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.3.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.3.1.1.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.3.1.2

组合 $\frac{y}{2}$ 和 $- 5$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot - 5}{2} - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.3.1.3

将 $- 5$ 移到 $y$ 的左侧。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 5 \cdot y}{2} - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - \frac{5 \cdot y}{2} - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.3.1.5

组合 $- 5$ 和 $\frac{y}{2}$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - \frac{5 y}{2} + \frac{- 5 y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - \frac{5 y}{2} - \frac{5 y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.3.1.7

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - \frac{5 y}{2} - \frac{5 y}{2} + 25 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.3.2

从 $- \frac{5 y}{2}$ 中减去 $\frac{5 y}{2}$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 2 \frac{5 y}{2} + 25 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.4.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.1.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + 2 (- 1) (\frac{5 y}{2}) + 25 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.4.1.2

约去公因数。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + 2 \cdot (- 1 \frac{5 y}{2}) + 25 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.4.1.3

重写表达式。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 1 (5 y) + 25 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.4.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.5

运用分配律。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} + (- \frac{y}{2} + 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} + (- \frac{y}{2} + 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.7

运用分配律。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y}{2} \cdot y + 5 y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.8

乘以 $- \frac{y}{2} y$ 。

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解题步骤 11.2.1.8.1

组合 $y$ 和 $\frac{y}{2}$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y \cdot y}{2} + 5 y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.8.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y \cdot y}{2} + 5 y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.8.3

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y \cdot y}{2} + 5 y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{1 + 1}}{2} + 5 y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.9

运用分配律。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 10 (\frac{y}{2}) + 10 \cdot - 5 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.10.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 2 (5) (\frac{y}{2}) + 10 \cdot - 5 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.10.2

约去公因数。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 2 \cdot (5 (\frac{y}{2})) + 10 \cdot - 5 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.10.3

重写表达式。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 5 y + 10 \cdot - 5 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.1.11

将 $10$ 乘以 $- 5$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 5 y - 50 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.2

合并 $\frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 5 y - 50 - 2 y + 5$ 中相反的项。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $- 5 y$ 和 $5 y$ 相加。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 0 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.2.2

将 $\frac{y^{2}}{4} + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y - 50 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.3

要将 $y^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + y^{2} \cdot \frac{4}{4} + 25 - \frac{y^{2}}{2} + 5 y - 50 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.4

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} + 25 - \frac{y^{2}}{2} + 5 y - 50 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.5

在公分母上合并分子。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} + y^{2} \cdot 4}{4} + 25 - \frac{y^{2}}{2} + 5 y - 50 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.6

将 $y^{2}$ 和 $y^{2} \cdot 4$ 相加。

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解题步骤 11.2.6.1

将 $y^{2}$ 和 $4$ 重新排序。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} + 4 \cdot y^{2}}{4} + 25 - \frac{y^{2}}{2} + 5 y - 50 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.6.2

将 $y^{2}$ 和 $4 \cdot y^{2}$ 相加。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{5 y^{2}}{4} + 25 - \frac{y^{2}}{2} + 5 y - 50 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.7

要将 $- \frac{y^{2}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{5 y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 11.2.8.1

将 $\frac{y^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{5 y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{5 y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.9

在公分母上合并分子。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{5 y^{2} - y^{2} \cdot 2}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.10

化简每一项。

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解题步骤 11.2.10.1

化简分子。

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解题步骤 11.2.10.1.1

从 $5 y^{2} - y^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 11.2.10.1.1.1

从 $5 y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} \cdot 5 - y^{2} \cdot 2}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.10.1.1.2

从 $- y^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} \cdot 5 + y^{2} (- 1 \cdot 2)}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.10.1.1.3

从 $y^{2} \cdot 5 + y^{2} (- 1 \cdot 2)$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} (5 - 1 \cdot 2)}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.10.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} (5 - 2)}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.10.1.3

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} \cdot 3}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.10.2

将 $3$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{3 y^{2}}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.11

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 11.2.11.1

从 $25$ 中减去 $50$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{3 y^{2}}{4} + 5 y - 25 - 2 y + 5$

解题步骤 11.2.11.2

从 $5 y$ 中减去 $2 y$ 。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{3 y^{2}}{4} + 3 y - 25 + 5$

解题步骤 11.2.11.3

将 $- 25$ 和 $5$ 相加。

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{3 y^{2}}{4} + 3 y - 20$

解题步骤 11.2.12

最终答案为 $\frac{3 y^{2}}{4} + 3 y - 20$ 。

$y = \frac{3 y^{2}}{4} + 3 y - 20$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = x^{2} + y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$ 的局部极值。

$(\frac{y}{2} - 5, \frac{3 y^{2}}{4} + 3 y - 20)$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例