微积分学示例

$x y + y - 14 x$

解题步骤 1

将 $x y + y - 14 x$ 书写为一个函数。

$f (x) = x y + y - 14 x$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x y + y - 14 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

解题步骤 2.2.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

解题步骤 2.3

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y + 0 + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 14 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 14 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y + 0 - 14 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y + 0 - 14 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $- 14$ 乘以 $1$ 。

$y + 0 - 14$

解题步骤 2.5

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$y - 14$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $y - 14$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 14]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (- 14)$

解题步骤 3.2

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 14)$

解题步骤 3.3

因为 $- 14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 14$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + 0$

解题步骤 3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 0$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$y - 14 = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

根据加法法则， $x y + y - 14 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

解题步骤 5.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

解题步骤 5.1.2.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

解题步骤 5.1.3

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y + 0 + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

解题步骤 5.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 14 x]$ 。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $- 14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 14 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y + 0 - 14 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y + 0 - 14 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4.3

将 $- 14$ 乘以 $1$ 。

$y + 0 - 14$

解题步骤 5.1.5

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = y - 14$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $y - 14$ 。

$y - 14$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $y - 14 = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$y - 14 = 0$

解题步骤 6.2

在等式两边都加上 $14$ 。

$y = 14$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 14$

解题步骤 8

计算在 $x = 14$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$0$

解题步骤 9

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 10

微积分学 示例

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