微积分学示例

$2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

解题步骤 1

将 $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ 书写为一个函数。

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ 对 $θ$ 的导数是 $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ 。

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $2 \cos (θ)$ 对 $θ$ 的导数是 $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ 。

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

解题步骤 2.2.2

$\cos (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $- \sin (θ)$ 。

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

解题步骤 2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = θ^{2}$ 且 $g (θ) = \cos (θ)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (θ)$ 。

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

解题步骤 2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $\cos (θ)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

解题步骤 2.3.2

$\cos (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $- \sin (θ)$ 。

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

解题步骤 2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数是 $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ 。

$f'' (θ) = \frac{d}{d θ} (- 2 \cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 2$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ 。

$f'' (θ) = - 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

解题步骤 3.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ 等于 $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ，其中 $f (θ) = \cos (θ)$ 且 $g (θ) = \sin (θ)$ 。

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} (\sin (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

解题步骤 3.2.3

$\sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\cos (θ)$ 。

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

解题步骤 3.2.4

$\cos (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $- \sin (θ)$ 。

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

解题步骤 3.2.5

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

解题步骤 3.2.6

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

解题步骤 3.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (θ) = - 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

解题步骤 3.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

解题步骤 3.2.9

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

解题步骤 3.2.10

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

解题步骤 3.2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

解题步骤 3.2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 2$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $- 2 \sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ 。

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \frac{d}{d θ} \sin (θ)$

解题步骤 3.3.2

$\sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\cos (θ)$ 。

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

解题步骤 3.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$

解题步骤 5

从 $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ 中分解出因数 $2 \sin (θ)$ 。

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解题步骤 5.1

从 $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ 中分解出因数 $2 \sin (θ)$ 。

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) - 2 \sin (θ) = 0$

解题步骤 5.2

从 $- 2 \sin (θ)$ 中分解出因数 $2 \sin (θ)$ 。

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 5.3

从 $2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1$ 中分解出因数 $2 \sin (θ)$ 。

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$

解题步骤 6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (θ) = 0$

$- \cos (θ) - 1 = 0$

解题步骤 7

将 $\sin (θ)$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 7.1

将 $\sin (θ)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (θ) = 0$

解题步骤 7.2

求解 $θ$ 的 $\sin (θ) = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$θ = \arcsin (0)$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$θ = 0$

解题步骤 7.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$θ = π - 0$

解题步骤 7.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$θ = π$

解题步骤 7.2.5

方程 $θ = 0$ 的解。

$θ = 0, π$

解题步骤 8

将 $- \cos (θ) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 8.1

将 $- \cos (θ) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$- \cos (θ) - 1 = 0$

解题步骤 8.2

求解 $θ$ 的 $- \cos (θ) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$- \cos (θ) = 1$

解题步骤 8.2.2

将 $- \cos (θ) = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $- \cos (θ) = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 8.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 8.2.2.2.2

用 $\cos (θ)$ 除以 $1$ 。

$\cos (θ) = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 8.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$\cos (θ) = - 1$

解题步骤 8.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$θ = \arccos (- 1)$

解题步骤 8.2.4

化简右边。

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解题步骤 8.2.4.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$θ = π$

解题步骤 8.2.5

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$θ = 2 π - π$

解题步骤 8.2.6

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$θ = π$

解题步骤 8.2.7

方程 $θ = π$ 的解。

$θ = π, π$

解题步骤 9

最终解为使 $2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$θ = 0, π$

解题步骤 10

计算在 $θ = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

解题步骤 11.1.2

一的任意次幂都为一。

$- 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

解题步骤 11.1.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

解题步骤 11.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

解题步骤 11.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

解题步骤 11.1.6

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$- 2 + 0 - 2 \cos (0)$

解题步骤 11.1.7

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 + 0 - 2 \cdot 1$

解题步骤 11.1.8

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 + 0 - 2$

解题步骤 11.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.1

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$- 2 - 2$

解题步骤 11.2.2

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$- 4$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为负数，所以 $θ = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$θ = 0$ 是一个极大值

解题步骤 13

求 $θ = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 13.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $θ$ 。

$f (0) = 2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

解题步骤 13.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (0) = 2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

解题步骤 13.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = 2 + \cos^{2} (0)$

解题步骤 13.2.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (0) = 2 + 1^{2}$

解题步骤 13.2.1.4

一的任意次幂都为一。

$f (0) = 2 + 1$

解题步骤 13.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = 3$

解题步骤 13.2.3

最终答案为 $3$ 。

$y = 3$

解题步骤 14

计算在 $θ = π$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \cos^{2} (π) + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

解题步骤 15

计算二阶导数。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- 2 {(- \cos (0))}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

解题步骤 15.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

解题步骤 15.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 {(- 1)}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

解题步骤 15.1.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

解题步骤 15.1.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

解题步骤 15.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (π)$

解题步骤 15.1.7

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (π)$

解题步骤 15.1.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (π)$

解题步骤 15.1.9

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$- 2 + 0 - 2 \cos (π)$

解题步骤 15.1.10

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- 2 + 0 - 2 (- \cos (0))$

解题步骤 15.1.11

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 + 0 - 2 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 15.1.12

乘以 $- 2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 15.1.12.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 + 0 - 2 \cdot - 1$

解题步骤 15.1.12.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 + 0 + 2$

解题步骤 15.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 15.2.1

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$- 2 + 2$

解题步骤 15.2.2

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$0$

解题步骤 16

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 16.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $θ$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

解题步骤 16.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 16.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $θ$ 。

$f' (- 2) = - 2 \cos (- 2) \sin (- 2) - 2 \sin (- 2)$

解题步骤 16.2.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 16.2.2.1.1

计算 $\cos (- 2)$ 。

$f' (- 2) = - 2 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

解题步骤 16.2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 0.41614683$ 。

$f' (- 2) = 0.83229367 \sin (- 2) - 2 \sin (- 2)$

解题步骤 16.2.2.1.3

计算 $\sin (- 2)$ 。

$f' (- 2) = 0.83229367 \cdot - 0.90929742 - 2 \sin (- 2)$

解题步骤 16.2.2.1.4

将 $0.83229367$ 乘以 $- 0.90929742$ 。

$f' (- 2) = - 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

解题步骤 16.2.2.1.5

计算 $\sin (- 2)$ 。

$f' (- 2) = - 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

解题步骤 16.2.2.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 0.90929742$ 。

$f' (- 2) = - 0.75680249 + 1.81859485$

解题步骤 16.2.2.2

将 $- 0.75680249$ 和 $1.81859485$ 相加。

$f' (- 2) = 1.06179235$

解题步骤 16.2.2.3

最终答案为 $1.06179235$ 。

$1.06179235$

解题步骤 16.3

将区间 $(0, π)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 16.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $θ$ 。

$f' (2) = - 2 \cos (2) \sin (2) - 2 \sin (2)$

解题步骤 16.3.2

化简结果。

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解题步骤 16.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 16.3.2.1.1

计算 $\cos (2)$ 。

$f' (2) = - 2 \cdot (- 0.41614683 \sin (2)) - 2 \sin (2)$

解题步骤 16.3.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 0.41614683$ 。

$f' (2) = 0.83229367 \sin (2) - 2 \sin (2)$

解题步骤 16.3.2.1.3

计算 $\sin (2)$ 。

$f' (2) = 0.83229367 \cdot 0.90929742 - 2 \sin (2)$

解题步骤 16.3.2.1.4

将 $0.83229367$ 乘以 $0.90929742$ 。

$f' (2) = 0.75680249 - 2 \sin (2)$

解题步骤 16.3.2.1.5

计算 $\sin (2)$ 。

$f' (2) = 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

解题步骤 16.3.2.1.6

将 $- 2$ 乘以 $0.90929742$ 。

$f' (2) = 0.75680249 - 1.81859485$

解题步骤 16.3.2.2

从 $0.75680249$ 中减去 $1.81859485$ 。

$f' (2) = - 1.06179235$

解题步骤 16.3.2.3

最终答案为 $- 1.06179235$ 。

$- 1.06179235$

解题步骤 16.4

将区间 $(π, \infty)$ 内的任一数字（例如 $6$ ）代入一阶导数 $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 16.4.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $θ$ 。

$f' (6) = - 2 \cos (6) \sin (6) - 2 \sin (6)$

解题步骤 16.4.2

化简结果。

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解题步骤 16.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 16.4.2.1.1

计算 $\cos (6)$ 。

$f' (6) = - 2 \cdot (0.96017028 \sin (6)) - 2 \sin (6)$

解题步骤 16.4.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0.96017028$ 。

$f' (6) = - 1.92034057 \sin (6) - 2 \sin (6)$

解题步骤 16.4.2.1.3

计算 $\sin (6)$ 。

$f' (6) = - 1.92034057 \cdot - 0.27941549 - 2 \sin (6)$

解题步骤 16.4.2.1.4

将 $- 1.92034057$ 乘以 $- 0.27941549$ 。

$f' (6) = 0.53657291 - 2 \sin (6)$

解题步骤 16.4.2.1.5

计算 $\sin (6)$ 。

$f' (6) = 0.53657291 - 2 \cdot - 0.27941549$

解题步骤 16.4.2.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 0.27941549$ 。

$f' (6) = 0.53657291 + 0.55883099$

解题步骤 16.4.2.2

将 $0.53657291$ 和 $0.55883099$ 相加。

$f' (6) = 1.09540391$

解题步骤 16.4.2.3

最终答案为 $1.09540391$ 。

$1.09540391$

解题步骤 16.5

由于一阶导数在 $θ = 0$ 周围从正号变为负号，因此 $θ = 0$ 是极大值。

$θ = 0$ 是一个极大值

解题步骤 16.6

由于一阶导数在 $θ = π$ 周围从负号变为正号，因此 $θ = π$ 是极小值。

$θ = π$ 是一个极小值

解题步骤 16.7

这些是 $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ 的局部极值。

$θ = 0$ 是一个极大值

$θ = π$ 是一个极小值

$θ = 0$ 是一个极大值

$θ = π$ 是一个极小值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例