微积分学示例

$p (t) = \frac{500 t}{2 t^{2} + 9}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = 500 t$ 且 $g (t) = 2 t^{2} + 9$ 。

$\frac{(2 t^{2} + 9) \frac{d}{d t} [500 t] - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $500$ 对于 $t$ 是常数，所以 $500 t$ 对 $t$ 的导数是 $500 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{(2 t^{2} + 9) (500 \frac{d}{d t} [t]) - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(2 t^{2} + 9) (500 \cdot 1) - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $500$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.4

根据加法法则， $2 t^{2} + 9$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [9]$ 。

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $9$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t + 0)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $4 t$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{2 t^{2} \cdot 500 + 9 \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 5.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $500$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1000 t^{2} + 9 \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $9$ 乘以 $500$ 。

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 \cdot 4 t \cdot t}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.4

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 5.2.1.4.1

移动 $t$ 。

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 \cdot 4 (t \cdot t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.4.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 \cdot 4 t^{2}}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.5

乘以 $- 1 \cdot 500 \cdot 4$ 。

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解题步骤 5.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $500$ 。

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 500 \cdot 4 t^{2}}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.5.2

将 $- 500$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 2000 t^{2}}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

从 $1000 t^{2}$ 中减去 $2000 t^{2}$ 。

$\frac{- 1000 t^{2} + 4500}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 5.3

从 $- 1000 t^{2} + 4500$ 中分解出因数 $500$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $- 1000 t^{2}$ 中分解出因数 $500$ 。

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 4500}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

从 $4500$ 中分解出因数 $500$ 。

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 500 (9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

从 $500 (- 2 t^{2}) + 500 (9)$ 中分解出因数 $500$ 。

$\frac{500 (- 2 t^{2} + 9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 5.4

从 $- 2 t^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{500 (- (2 t^{2}) + 9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 5.5

将 $9$ 重写为 $- 1 (- 9)$ 。

$\frac{500 (- (2 t^{2}) - 1 (- 9))}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 5.6

从 $- (2 t^{2}) - 1 (- 9)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{500 (- (2 t^{2} - 9))}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 5.7

将 $- (2 t^{2} - 9)$ 重写为 $- 1 (2 t^{2} - 9)$ 。

$\frac{500 (- 1 (2 t^{2} - 9))}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 5.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{500 (2 t^{2} - 9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

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