微积分学示例

$\frac{c x + a}{a x + b}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ 等于 $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ ，其中 $f (c) = c x + a$ 且 $g (c) = a x + b$ 。

$\frac{(a x + b) \frac{d}{d c} [c x + a] - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 2

根据加法法则， $c x + a$ 对 $c$ 的导数是 $\frac{d}{d c} [c x] + \frac{d}{d c} [a]$ 。

$\frac{(a x + b) (\frac{d}{d c} [c x] + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d c} [c x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $x$ 对于 $c$ 是常数，所以 $c x$ 对 $c$ 的导数是 $x \frac{d}{d c} [c]$ 。

$\frac{(a x + b) (x \frac{d}{d c} [c] + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ 等于 $n c^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(a x + b) (x \cdot 1 + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(a x + b) (x + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $a$ 对于 $c$ 是常数，所以 $a$ 对 $c$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(a x + b) (x + 0) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $a x + b$ 对 $c$ 的导数是 $\frac{d}{d c} [a x] + \frac{d}{d c} [b]$ 。

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) (\frac{d}{d c} [a x] + \frac{d}{d c} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 4.4

因为 $a x$ 对于 $c$ 是常数，所以 $a x$ 对 $c$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) (0 + \frac{d}{d c} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 4.5

因为 $b$ 对于 $c$ 是常数，所以 $b$ 对 $c$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) (0 + 0)}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 4.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{a x \cdot x + b x - (c x + a) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{a x \cdot x + b x + (- (c x) - a) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\frac{a x \cdot x + b x - (c x) \cdot 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 5.4

化简分子。

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解题步骤 5.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{a (x \cdot x) + b x - (c x) \cdot 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{a x^{2} + b x - (c x) \cdot 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.2

乘以 $- c x \cdot 0$ 。

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解题步骤 5.4.1.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{a x^{2} + b x + 0 c x - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.2.2

将 $0$ 乘以 $c$ 。

$\frac{a x^{2} + b x + 0 x - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.2.3

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$\frac{a x^{2} + b x + 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.3

乘以 $- a \cdot 0$ 。

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解题步骤 5.4.1.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{a x^{2} + b x + 0 + 0 a}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.3.2

将 $0$ 乘以 $a$ 。

$\frac{a x^{2} + b x + 0 + 0}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 5.4.2

合并 $a x^{2} + b x + 0 + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 5.4.2.1

将 $a x^{2} + b x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{a x^{2} + b x + 0}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2

将 $a x^{2} + b x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{a x^{2} + b x}{{(a x + b)}^{2}}$

解题步骤 5.5

重新排序项。

$\frac{x^{2} a + b x}{{(b + a x)}^{2}}$

解题步骤 5.6

从 $x^{2} a + b x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.6.1

从 $x^{2} a$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x a) + b x}{{(b + a x)}^{2}}$

解题步骤 5.6.2

从 $b x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x a) + x b}{{(b + a x)}^{2}}$

解题步骤 5.6.3

从 $x (x a) + x b$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x a + b)}{{(b + a x)}^{2}}$

解题步骤 5.7

约去 $x a + b$ 和 ${(b + a x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.1

重新排序项。

$\frac{x (b + a x)}{{(b + a x)}^{2}}$

解题步骤 5.7.2

从 $x (b + a x)$ 中分解出因数 $b + a x$ 。

$\frac{(b + a x) x}{{(b + a x)}^{2}}$

解题步骤 5.7.3

约去公因数。

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解题步骤 5.7.3.1

从 ${(b + a x)}^{2}$ 中分解出因数 $b + a x$ 。

$\frac{(b + a x) x}{(b + a x) (b + a x)}$

解题步骤 5.7.3.2

约去公因数。

$\frac{(b + a x) x}{(b + a x) (b + a x)}$

解题步骤 5.7.3.3

重写表达式。

$\frac{x}{b + a x}$

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