微积分学示例

$y = \frac{v^{3} - 2 v \sqrt{v}}{v}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ 等于 $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ ，其中 $f (v) = v^{3} - 2 v \sqrt{v}$ 且 $g (v) = v$ 。

$\frac{v \frac{d}{d v} [v^{3} - 2 v \sqrt{v}] - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $v^{3} - 2 v \sqrt{v}$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [- 2 v \sqrt{v}]$ 。

$\frac{v (\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [- 2 v \sqrt{v}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v \sqrt{v}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d v} [- 2 v \sqrt{v}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{v}$ 重写成 $v^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v \cdot v^{\frac{1}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.2

通过指数相加将 $v$ 乘以 $v^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.1

移动 $v^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 (v^{\frac{1}{2}} v)]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.2.2

将 $v^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $v$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

对 $v$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 (v^{\frac{1}{2}} v^{1})]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v^{\frac{1}{2} + 1}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v^{\frac{1 + 2}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.2.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v^{\frac{3}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.3

因为 $- 2$ 对于 $v$ 是常数，所以 $- 2 v^{\frac{3}{2}}$ 对 $v$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}}]$ 。

$\frac{v (3 v^{2} - 2 \frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} - 1})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.7

在公分母上合并分子。

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.8

化简分子。

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解题步骤 3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3 - 2}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.8.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{1}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $v^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{v (3 v^{2} - 2 \frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.10

组合 $- 2$ 和 $\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{- 2 (3 v^{\frac{1}{2}})}{2}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.11

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{- 6 v^{\frac{1}{2}}}{2}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.12

从 $- 6 v^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{2 (- 3 v^{\frac{1}{2}})}{2}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.13

约去公因数。

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解题步骤 3.13.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{2 (- 3 v^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.13.2

约去公因数。

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{2 (- 3 v^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.13.3

重写表达式。

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{- 3 v^{\frac{1}{2}}}{1}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 3.13.4

用 $- 3 v^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{v (3 v^{2} - 3 v^{\frac{1}{2}}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{v (3 v^{2} - 3 v^{\frac{1}{2}}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{v (3 v^{2}) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{v (3 v^{2}) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) + (- v^{3} - (- 2 v \sqrt{v})) \cdot 1}{v^{2}}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\frac{v (3 v^{2}) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

解题步骤 5.4

化简分子。

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解题步骤 5.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 v \cdot v^{2} + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.1.2

通过指数相加将 $v$ 乘以 $v^{2}$ 。

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解题步骤 5.4.1.2.1

移动 $v^{2}$ 。

$\frac{3 (v^{2} v) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.1.2.2

将 $v^{2}$ 乘以 $v$ 。

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解题步骤 5.4.1.2.2.1

对 $v$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (v^{2} v^{1}) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 v^{2 + 1} + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 v^{3} + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 v^{3} - 3 v \cdot v^{\frac{1}{2}} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.1.4

通过指数相加将 $v$ 乘以 $v^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.4.1.4.1

移动 $v^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 v^{3} - 3 (v^{\frac{1}{2}} v) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.1.4.2

将 $v^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $v$ 。

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解题步骤 5.4.1.4.2.1

对 $v$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 v^{3} - 3 (v^{\frac{1}{2}} v^{1}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{1}{2} + 1} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.1.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.1.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{1 + 2}{2}} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.1.4.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} - v^{3} - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} - v^{3} + 2 (v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.1.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} - v^{3} + 2 v \sqrt{v}}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.2

从 $3 v^{3}$ 中减去 $v^{3}$ 。

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v \sqrt{v}}{v^{2}}$

解题步骤 5.5

合并项。

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解题步骤 5.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{v}$ 重写成 $v^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v \cdot v^{\frac{1}{2}}}{v^{2}}$

解题步骤 5.5.2

通过指数相加将 $v$ 乘以 $v^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

移动 $v^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 (v^{\frac{1}{2}} v)}{v^{2}}$

解题步骤 5.5.2.2

将 $v^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $v$ 。

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解题步骤 5.5.2.2.1

对 $v$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 (v^{\frac{1}{2}} v^{1})}{v^{2}}$

解题步骤 5.5.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v^{\frac{1}{2} + 1}}{v^{2}}$

解题步骤 5.5.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{v^{2}}$

解题步骤 5.5.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v^{\frac{1 + 2}{2}}}{v^{2}}$

解题步骤 5.5.2.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v^{\frac{3}{2}}}{v^{2}}$

解题步骤 5.5.3

将 $- 3 v^{\frac{3}{2}}$ 和 $2 v^{\frac{3}{2}}$ 相加。

$\frac{2 v^{3} - v^{\frac{3}{2}}}{v^{2}}$

解题步骤 5.5.4

从 $2 v^{3} - v^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $v^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 5.5.4.1

从 $2 v^{3}$ 中分解出因数 $v^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{v^{\frac{3}{2}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - v^{\frac{3}{2}}}{v^{2}}$

解题步骤 5.5.4.2

从 $- v^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $v^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{v^{\frac{3}{2}} (2 v^{\frac{3}{2}}) + v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{v^{2}}$

解题步骤 5.5.4.3

从 $v^{\frac{3}{2}} (2 v^{\frac{3}{2}}) + v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1$ 中分解出因数 $v^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{v^{\frac{3}{2}} (2 v^{\frac{3}{2}} - 1)}{v^{2}}$

解题步骤 5.5.5

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $v^{\frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{2} v^{- \frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.5.6

通过指数相加将 $v^{2}$ 乘以 $v^{- \frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 5.5.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{2 - \frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.5.6.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.5.6.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.5.6.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}}}$

解题步骤 5.5.6.5

化简分子。

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解题步骤 5.5.6.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{\frac{4 - 3}{2}}}$

解题步骤 5.5.6.5.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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