微积分学示例

$\frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 1}{t^{2} - 1})$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t^{2} + 1$ 且 $g (t) = t^{2} - 1$ 。

$\frac{(t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $t^{2} + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{(t^{2} - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $2 t$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $t^{2} - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t + 0)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.8

将 $2 t$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{t^{2} (2 t) - 1 (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{t^{2} (2 t) - 1 (2 t) + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{t^{2} (2 t) - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 t^{2} t - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.4.1.2.1

移动 $t$ 。

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2.2

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1.2.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 t^{1 + 2} - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 t^{3} - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 t^{3} - 2 t - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 t^{2} t - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.5

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.4.1.5.1

移动 $t$ 。

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 (t \cdot t^{2}) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.5.2

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1.5.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 (t^{1} t^{2}) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 t^{1 + 2} - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 t^{3} - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 2 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

合并 $2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 2 t$ 中相反的项。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $2 t^{3}$ 中减去 $2 t^{3}$ 。

$\frac{- 2 t + 0 - 2 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2.2

将 $- 2 t$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2 t - 2 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

从 $- 2 t$ 中减去 $2 t$ 。

$\frac{- 4 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6

化简分母。

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解题步骤 3.6.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \frac{4 t}{{(t^{2} - 1^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = t$ 和 $b = 1$ 。

$- \frac{4 t}{{((t + 1) (t - 1))}^{2}}$

解题步骤 3.6.3

对 $(t + 1) (t - 1)$ 运用乘积法则。

$- \frac{4 t}{{(t + 1)}^{2} {(t - 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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