微积分学示例

$v = \frac{2 t}{{(t + 1)}^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ 等于 $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ ，其中 $f (v) = 2 t$ 且 $g (v) = {(t + 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{2} \frac{d}{d v} [2 t] - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [{(t + 1)}^{2}]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1

因为 $2 t$ 对于 $v$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [{(t + 1)}^{2}]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 ${(t + 1)}^{2}$ 重写为 $(t + 1) (t + 1)$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [(t + 1) (t + 1)]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

使用 FOIL 方法展开 $(t + 1) (t + 1)$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t (t + 1) + 1 (t + 1)]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t \cdot t + t \cdot 1 + 1 (t + 1)]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t \cdot t + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t + 1 t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t + t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t + t + 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $t$ 和 $t$ 相加。

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + 2 t + 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 5

因为 $t^{2} + 2 t + 1$ 对于 $v$ 是常数，所以 $t^{2} + 2 t + 1$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.1

将 ${(t + 1)}^{2}$ 重写为 $(t + 1) (t + 1)$ 。

$\frac{(t + 1) (t + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 6.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(t + 1) (t + 1)$ 。

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解题步骤 6.1.1.2.1

运用分配律。

$\frac{(t (t + 1) + 1 (t + 1)) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 6.1.1.2.2

运用分配律。

$\frac{(t \cdot t + t \cdot 1 + 1 (t + 1)) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 6.1.1.2.3

运用分配律。

$\frac{(t \cdot t + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 6.1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.3.1.1

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{(t^{2} + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 6.1.1.3.1.2

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(t^{2} + t + 1 t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 6.1.1.3.1.3

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(t^{2} + t + t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 6.1.1.3.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(t^{2} + t + t + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 6.1.1.3.2

将 $t$ 和 $t$ 相加。

$\frac{(t^{2} + 2 t + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 6.1.1.4

将 $t^{2} + 2 t + 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 6.1.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0 - 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 6.1.1.6

乘以 $- 2 t \cdot 0$ 。

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解题步骤 6.1.1.6.1

将 $0$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{0 + 0 t}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 6.1.1.6.2

将 $0$ 乘以 $t$ 。

$\frac{0 + 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 6.1.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 6.2

将 ${({(t + 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{0}{{(t + 1)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{{(t + 1)}^{4}}$

解题步骤 6.3

用 $0$ 除以 ${(t + 1)}^{4}$ 。

$0$

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