微积分学示例

$y = d \cos (t) + t^{2} \sin (t)$

解题步骤 1

该导数无法用链式法则求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

根据加法法则， $d \cos (t) + t^{2} \sin (t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [d \cos (t)] + \frac{d}{d t} [t^{2} \sin (t)]$ 。

$\frac{d}{d t} [d \cos (t)] + \frac{d}{d t} [t^{2} \sin (t)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d t} [d \cos (t)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $d$ 对于 $t$ 是常数，所以 $d \cos (t)$ 对 $t$ 的导数是 $d \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ 。

$d \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \frac{d}{d t} [t^{2} \sin (t)]$

解题步骤 3.2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$d (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} [t^{2} \sin (t)]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d t} [t^{2} \sin (t)]$ 。

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解题步骤 4.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = \sin (t)$ 。

$d (- \sin (t)) + t^{2} \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \sin (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 4.2

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$d (- \sin (t)) + t^{2} \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$d (- \sin (t)) + t^{2} \cos (t) + \sin (t) (2 t)$

解题步骤 5

重新排序项。

$- d \sin (t) + t^{2} \cos (t) + 2 t \sin (t)$

微积分学 示例

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