微积分学示例

$y = \cot^{-1} (\sqrt{2 t})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cot^{-1} (t)$ 且 $g (t) = \sqrt{2 t}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sqrt{2 t}$ 。

$\frac{d}{d u} [\cot^{-1} (u)] \frac{d}{d t} [\sqrt{2 t}]$

解题步骤 1.2

$\cot^{-1} (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{2 t}]$

解题步骤 1.3

使用 $\sqrt{2 t}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{2 t}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 t}$ 重写成 ${(2 t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [{(2 t)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $2 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [{(2 (t))}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2.2

对 $2 (t)$ 运用乘积法则。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

因为 $2^{\frac{1}{2}}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 9

组合 $2^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 10

化简表达式。

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解题步骤 10.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $2^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12

合并项。

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解题步骤 12.1

将 ${\sqrt{2 t}}^{2}$ 重写为 $2 t$ 。

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解题步骤 12.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 t}$ 重写成 ${(2 t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{1 + {({(2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.4.1

约去公因数。

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.1.4.2

重写表达式。

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{1}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.1.5

化简。

$- \frac{1}{1 + 2 t} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.2

将 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{1 + 2 t}$ 。

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} (1 + 2 t)}$

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