微积分学示例

$y = {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 1}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3} + 9 x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} + 9 x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 9 x^{2}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9 x^{2}]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{3} + 9 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9 x^{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{3} + 9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ 。

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}])$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + 9 (2 x))$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + 18 x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}} (3 x^{2} + 18 x)$

解题步骤 4.2

重新排序 $- \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}} (3 x^{2} + 18 x)$ 的因式。

$- (3 x^{2} + 18 x) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$(- (3 x^{2}) - (18 x)) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 3 x^{2} - (18 x)) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.5

将 $18$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.6

化简分母。

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解题步骤 4.6.1

从 $x^{3} + 9 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.6.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2} x + 9 x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.6.1.2

从 $9 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 9)}^{2}}$

解题步骤 4.6.1.3

从 $x^{2} x + x^{2} \cdot 9$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2} (x + 9))}^{2}}$

解题步骤 4.6.2

对 $x^{2} (x + 9)$ 运用乘积法则。

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2})}^{2} {(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 4.6.3

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.6.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{x^{2 \cdot 2} {(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 4.6.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 4.7

将 $- 3 x^{2} - 18 x$ 乘以 $\frac{1}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$ 。

$\frac{- 3 x^{2} - 18 x}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 4.8

从 $- 3 x^{2} - 18 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

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解题步骤 4.8.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{3 x (- x) - 18 x}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 4.8.2

从 $- 18 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{3 x (- x) + 3 x (- 6)}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 4.8.3

从 $3 x (- x) + 3 x (- 6)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{3 x (- x - 6)}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 4.9

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 4.9.1

从 $3 x (- x - 6)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 (- x - 6))}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 4.9.2

约去公因数。

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解题步骤 4.9.2.1

从 $x^{4} {(x + 9)}^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 (- x - 6))}{x (x^{3} {(x + 9)}^{2})}$

解题步骤 4.9.2.2

约去公因数。

$\frac{x (3 (- x - 6))}{x (x^{3} {(x + 9)}^{2})}$

解题步骤 4.9.2.3

重写表达式。

$\frac{3 (- x - 6)}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 4.10

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (x) - 6)}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 4.11

将 $- 6$ 重写为 $- 1 (6)$ 。

$\frac{3 (- (x) - 1 (6))}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 4.12

从 $- (x) - 1 (6)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (x + 6))}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 4.13

将 $- (x + 6)$ 重写为 $- 1 (x + 6)$ 。

$\frac{3 (- 1 (x + 6))}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

解题步骤 4.14

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 (x + 6)}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

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