微积分学示例

$y = 7 e^{x}$ , $y = 7 x e^{x}$ , $x = 0$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$7 e^{x} = 7 x e^{x}$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $7 e^{x} = 7 x e^{x}$ 。

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解题步骤 1.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (7 e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

解题步骤 1.2.2

展开左边。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $\ln (7 e^{x})$ 重写为 $\ln (7) + \ln (e^{x})$ 。

$\ln (7) + \ln (e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

解题步骤 1.2.2.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$\ln (7) + x \ln (e) = \ln (7 x e^{x})$

解题步骤 1.2.2.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (7) + x \cdot 1 = \ln (7 x e^{x})$

解题步骤 1.2.2.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (7) + x = \ln (7 x e^{x})$

解题步骤 1.2.3

展开右边。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $\ln (7 x e^{x})$ 重写为 $\ln (7 x) + \ln (e^{x})$ 。

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + \ln (e^{x})$

解题步骤 1.2.3.2

将 $\ln (7 x)$ 重写为 $\ln (7) + \ln (x)$ 。

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + \ln (e^{x})$

解题步骤 1.2.3.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \ln (e)$

解题步骤 1.2.3.4

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \cdot 1$

解题步骤 1.2.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x$

解题步骤 1.2.4

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + x$

解题步骤 1.2.5

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (7) - \ln (7 x) = - x + x$

解题步骤 1.2.6

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

解题步骤 1.2.7

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.1

约去公因数。

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

解题步骤 1.2.7.2

重写表达式。

$\ln (\frac{1}{x}) = - x + x$

解题步骤 1.2.8

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\ln (\frac{1}{x}) = 0$

解题步骤 1.2.9

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{1}{x})} = e^{0}$

解题步骤 1.2.10

使用对数的定义将 $\ln (\frac{1}{x}) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = \frac{1}{x}$

解题步骤 1.2.11

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.11.1

将方程重写为 $\frac{1}{x} = e^{0}$ 。

$\frac{1}{x} = e^{0}$

解题步骤 1.2.11.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{x} = 1$

解题步骤 1.2.11.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.2.11.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x, 1 + y = 7 x e^{x}$

解题步骤 1.2.11.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x + y = 7 x e^{x}$

解题步骤 1.2.11.4

将 $\frac{1}{x} = 1$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

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解题步骤 1.2.11.4.1

将 $\frac{1}{x} = 1$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$\frac{1}{x} x = 1 x$

解题步骤 1.2.11.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.11.4.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.11.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{x} x = 1 x$

解题步骤 1.2.11.4.2.1.2

重写表达式。

$1 = 1 x$

解题步骤 1.2.11.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.11.4.3.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$1 = x$

解题步骤 1.2.11.5

将方程重写为 $x = 1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.3

当 $x = 1$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = 7 (1) \cdot e^{1}$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 代入 $y = 7 (1) \cdot e^{1}$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

去掉圆括号。

$y = 7 (1) \cdot e$

解题步骤 1.3.2.2

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$y = 7 e$

解题步骤 1.4

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(1, 7 e)$

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x - \int_{0}^{1} 7 e^{x} d x$

解题步骤 3

用积分求 $0$ 和 $1$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - (7 e^{x}) d x$

解题步骤 3.2

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - 7 e^{x} d x$

解题步骤 3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

解题步骤 3.4

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$7 \int_{0}^{1} x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

解题步骤 3.5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

解题步骤 3.6

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

解题步骤 3.7

由于 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 7$ 移到积分外。

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 \int_{0}^{1} e^{x} d x$

解题步骤 3.8

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

解题步骤 3.9

代入并化简。

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解题步骤 3.9.1

计算 $x e^{x}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

解题步骤 3.9.2

计算 $e^{x}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

解题步骤 3.9.3

计算 $e^{x}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

解题步骤 3.9.4

化简。

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解题步骤 3.9.4.1

化简。

$7 (1 e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

解题步骤 3.9.4.2

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$7 (e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

解题步骤 3.9.4.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$7 (e + 0 \cdot 1 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

解题步骤 3.9.4.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$7 (e + 0 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

解题步骤 3.9.4.5

将 $e$ 和 $0$ 相加。

$7 (e - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

解题步骤 3.9.4.6

化简。

$7 (e - (e - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

解题步骤 3.9.4.7

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$7 (e - (e - 1 \cdot 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

解题步骤 3.9.4.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

解题步骤 3.9.4.9

化简。

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - e^{0})$

解题步骤 3.9.4.10

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.9.4.11

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1)$

解题步骤 3.10

化简。

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解题步骤 3.10.1

化简每一项。

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解题步骤 3.10.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.10.1.1.1

运用分配律。

$7 (e - e - - 1) - 7 (e - 1)$

解题步骤 3.10.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$7 (e - e + 1) - 7 (e - 1)$

解题步骤 3.10.1.2

从 $e$ 中减去 $e$ 。

$7 (0 + 1) - 7 (e - 1)$

解题步骤 3.10.1.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$7 \cdot 1 - 7 (e - 1)$

解题步骤 3.10.1.4

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$7 - 7 (e - 1)$

解题步骤 3.10.1.5

运用分配律。

$7 - 7 e - 7 \cdot - 1$

解题步骤 3.10.1.6

将 $- 7$ 乘以 $- 1$ 。

$7 - 7 e + 7$

解题步骤 3.10.2

将 $7$ 和 $7$ 相加。

$14 - 7 e$

解题步骤 4

微积分学 示例

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