微积分学示例

$y = (x^{2} - 99) e^{x}$

解题步骤 1

运用分配律。

$y = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$

解题步骤 2

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 99$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 99 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 99 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 99 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 99 e^{x}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

重新排序项。

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 99 e^{x}$

解题步骤 3.4.2

将 $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 99 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 99 e^{x}$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 99 e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 4.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.1.1

从 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 99 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

从 $x^{2} e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} - 99 e^{x} = 0$

解题步骤 4.1.1.2

从 $2 x e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) - 99 e^{x} = 0$

解题步骤 4.1.1.3

从 $- 99 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 99 = 0$

解题步骤 4.1.1.4

从 $e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 99 = 0$

解题步骤 4.1.1.5

从 $e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 99$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (x^{2} + 2 x - 99) = 0$

解题步骤 4.1.2

因数。

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解题步骤 4.1.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 99$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 99$ ，和为 $2$ 。

$- 9, 11$

解题步骤 4.1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$e^{x} ((x - 9) (x + 11)) = 0$

解题步骤 4.1.2.2

去掉多余的括号。

$e^{x} (x - 9) (x + 11) = 0$

解题步骤 4.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

$x - 9 = 0$

$x + 11 = 0$

解题步骤 4.3

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 4.3.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 4.3.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 4.3.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 4.4

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 。

$x - 9 = 0$

解题步骤 4.4.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$x = 9$

解题步骤 4.5

将 $x + 11$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $x + 11$ 设为等于 $0$ 。

$x + 11 = 0$

解题步骤 4.5.2

从等式两边同时减去 $11$ 。

$x = - 11$

解题步骤 4.6

最终解为使 $e^{x} (x - 9) (x + 11) = 0$ 成立的所有值。

$x = 9, - 11$

解题步骤 5

求在 $x = 9$ 处的原函数 $f (x) = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $9$ 替换变量 $x$ 。

$f (9) = {(9)}^{2} e^{9} - 99 e^{9}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (9) = 81 e^{9} - 99 e^{9}$

解题步骤 5.2.2

从 $81 e^{9}$ 中减去 $99 e^{9}$ 。

$f (9) = - 18 e^{9}$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 18 e^{9}$ 。

$- 18 e^{9}$

解题步骤 6

求在 $x = - 11$ 处的原函数 $f (x) = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$ 。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 11$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 11) = {(- 11)}^{2} e^{- 11} - 99 e^{- 11}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 11$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 11) = 121 e^{- 11} - 99 e^{- 11}$

解题步骤 6.2.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (- 11) = 121 (\frac{1}{e^{11}}) - 99 e^{- 11}$

解题步骤 6.2.1.3

组合 $121$ 和 $\frac{1}{e^{11}}$ 。

$f (- 11) = \frac{121}{e^{11}} - 99 e^{- 11}$

解题步骤 6.2.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (- 11) = \frac{121}{e^{11}} - 99 \frac{1}{e^{11}}$

解题步骤 6.2.1.5

组合 $- 99$ 和 $\frac{1}{e^{11}}$ 。

$f (- 11) = \frac{121}{e^{11}} + \frac{- 99}{e^{11}}$

解题步骤 6.2.1.6

将负号移到分数的前面。

$f (- 11) = \frac{121}{e^{11}} - \frac{99}{e^{11}}$

解题步骤 6.2.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (- 11) = \frac{121 - 99}{e^{11}}$

解题步骤 6.2.2.2

从 $121$ 中减去 $99$ 。

$f (- 11) = \frac{22}{e^{11}}$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $\frac{22}{e^{11}}$ 。

$\frac{22}{e^{11}}$

解题步骤 7

函数 $f (x) = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$ 上的水平切线是 $y = - 18 e^{9}, y = \frac{22}{e^{11}}$ 。

$y = - 18 e^{9}, y = \frac{22}{e^{11}}$

解题步骤 8

微积分学 示例

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