微积分学示例

$x y^{2} + x^{2} y = 6$

解题步骤 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$x y^{2} + x^{2} y - 6 = 0$

解题步骤 1.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 1.3

将 $a = x$ 、 $b = x^{2}$ 和 $c = - 6$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- x^{2} \pm \sqrt{{(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (x \cdot - 6)}}{2 x}$

解题步骤 1.4

化简分子。

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解题步骤 1.4.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.4.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

解题步骤 1.4.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

解题步骤 1.4.2

将 $- 6$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} + 24 x}}{2 x}$

解题步骤 1.4.3

从 $x^{4} + 24 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.4.3.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + 24 x}}{2 x}$

解题步骤 1.4.3.2

从 $24 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot 24}}{2 x}$

解题步骤 1.4.3.3

从 $x \cdot x^{3} + x \cdot 24$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

解题步骤 1.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 1.5.1

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{- x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

解题步骤 1.5.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x^{2}) + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

解题步骤 1.5.3

从 $\sqrt{x (x^{3} + 24)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x^{2}) - 1 (- \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

解题步骤 1.5.4

从 $- (x^{2}) - 1 (- \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

解题步骤 1.5.5

将 $- (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ 重写为 $- 1 (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ 。

$y = \frac{- 1 (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

解题步骤 1.5.6

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

解题步骤 1.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 1.6.1

化简分子。

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解题步骤 1.6.1.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.6.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

解题步骤 1.6.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

解题步骤 1.6.1.2

将 $- 6$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} + 24 x}}{2 x}$

解题步骤 1.6.1.3

从 $x^{4} + 24 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.6.1.3.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + 24 x}}{2 x}$

解题步骤 1.6.1.3.2

从 $24 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot 24}}{2 x}$

解题步骤 1.6.1.3.3

从 $x \cdot x^{3} + x \cdot 24$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

解题步骤 1.6.2

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{- x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

解题步骤 1.6.3

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x^{2}) - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

解题步骤 1.6.4

从 $- \sqrt{x (x^{3} + 24)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x^{2}) - (\sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

解题步骤 1.6.5

从 $- (x^{2}) - (\sqrt{x (x^{3} + 24)})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

解题步骤 1.6.6

将 $- (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ 重写为 $- 1 (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ 。

$y = \frac{- 1 (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

解题步骤 1.6.7

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

解题步骤 1.7

最终答案为两个解的组合。

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

解题步骤 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x} \to f (x) = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x} \to f (x) = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

解题步骤 3

Because the $y$ variable in the equation $x y^{2} + x^{2} y = 6$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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解题步骤 3.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + x^{2} y) = \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 3.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x y^{2} + x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 。

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 3.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 3.2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 3.2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 3.2.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 3.2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 3.2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 3.2.2.5

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 3.2.2.6

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 3.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + y (2 x)$

解题步骤 3.2.3.4

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + 2 y x$

解题步骤 3.2.4

重新排序项。

$y^{2} + 2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y$

解题步骤 3.3

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y^{2} + 2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y = 0$

解题步骤 3.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 3.5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.5.1.1

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y = - y^{2}$

解题步骤 3.5.1.2

从等式两边同时减去 $2 x y$ 。

$2 x y y' + x^{2} y' = - y^{2} - 2 x y$

解题步骤 3.5.2

从 $2 x y y' + x^{2} y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $2 x y y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (2 y) + x^{2} y' = - y^{2} - 2 x y$

解题步骤 3.5.2.2

从 $x^{2} y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (2 y) + x y' x = - y^{2} - 2 x y$

解题步骤 3.5.2.3

从 $x y' (2 y) + x y' x$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$

解题步骤 3.5.3

将 $x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$ 中的每一项除以 $x (2 y + x)$ 并化简。

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解题步骤 3.5.3.1

将 $x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$ 中的每一项都除以 $x (2 y + x)$ 。

$\frac{x y' (2 y + x)}{x (2 y + x)} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

解题步骤 3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y' (2 y + x)}{x (2 y + x)} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

解题步骤 3.5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

解题步骤 3.5.3.2.2

约去 $2 y + x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

解题步骤 3.5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

解题步骤 3.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.3.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

解题步骤 3.5.3.3.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.3.1.2.1

约去公因数。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

解题步骤 3.5.3.3.1.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 y}{2 y + x}$

解题步骤 3.5.3.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y}{2 y + x}$

解题步骤 3.5.3.3.2

要将 $- \frac{2 y}{2 y + x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y}{2 y + x} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 3.5.3.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x (2 y + x)$ 的形式。

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解题步骤 3.5.3.3.3.1

将 $\frac{2 y}{2 y + x}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y x}{(2 y + x) x}$

解题步骤 3.5.3.3.3.2

重新排序 $(2 y + x) x$ 的因式。

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y x}{x (2 y + x)}$

解题步骤 3.5.3.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- y^{2} - 2 y x}{x (2 y + x)}$

解题步骤 3.5.3.3.5

从 $- y^{2} - 2 y x$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.5.3.3.5.1

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- y) - 2 y x}{x (2 y + x)}$

解题步骤 3.5.3.3.5.2

从 $- 2 y x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- y) + y (- 2 x)}{x (2 y + x)}$

解题步骤 3.5.3.3.5.3

从 $y (- y) + y (- 2 x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (2 y + x)}$

解题步骤 3.5.3.3.6

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (- (y) - 2 x)}{x (2 y + x)}$

解题步骤 3.5.3.3.7

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (- (y) - (2 x))}{x (2 y + x)}$

解题步骤 3.5.3.3.8

从 $- (y) - (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (- (y + 2 x))}{x (2 y + x)}$

解题步骤 3.5.3.3.9

化简表达式。

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解题步骤 3.5.3.3.9.1

将 $- (y + 2 x)$ 重写为 $- 1 (y + 2 x)$ 。

$y' = \frac{y (- 1 (y + 2 x))}{x (2 y + x)}$

解题步骤 3.5.3.3.9.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)}$

解题步骤 3.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)}$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)} = 0$ 。

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解题步骤 4.1

将分子设为等于零。

$y (y + 2 x) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 4.2.1

将 $y (y + 2 x) = 0$ 中的每一项除以 $y$ 并化简。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $y (y + 2 x) = 0$ 中的每一项都除以 $y$ 。

$\frac{y (y + 2 x)}{y} = \frac{0}{y}$

解题步骤 4.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (y + 2 x)}{y} = \frac{0}{y}$

解题步骤 4.2.1.2.1.2

用 $y + 2 x$ 除以 $1$ 。

$y + 2 x = \frac{0}{y}$

解题步骤 4.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $y$ 。

$y + 2 x = 0$

解题步骤 4.2.2

从等式两边同时减去 $y$ 。

$2 x = - y$

解题步骤 4.2.3

将 $2 x = - y$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $2 x = - y$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

解题步骤 4.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

解题步骤 4.2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- y}{2}$

解题步骤 4.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{y}{2}$

解题步骤 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- \frac{y}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- \frac{y}{2})}^{2} - \sqrt{(- \frac{y}{2}) ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.2.1.1.1

对 $- \frac{y}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.1.2

对 $\frac{y}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{1 (\frac{y^{2}}{2^{2}}) - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.3

将 $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{2^{2}} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.5

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.2.1.5.1

对 $- \frac{y}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.5.2

对 $\frac{y}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{3}}{2^{3}}) + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.6

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{2^{3}} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.7

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.8

要将 $24$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24 \cdot \frac{8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.9

组合 $24$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + \frac{24 \cdot 8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.10

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 24 \cdot 8}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.11

将 $24$ 乘以 $8$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 192}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.12

合并指数。

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解题步骤 5.2.1.12.1

将 $\frac{- y^{3} + 192}{8}$ 乘以 $\frac{y}{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{8 \cdot 2}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.12.2

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.13

将 $- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}$ 重写为 ${({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)$ 。

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解题步骤 5.2.1.13.1

从 $(- y^{3} + 192) y$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.13.2

从 $16$ 中因式分解出完全幂数 $4^{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.13.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- ({(\frac{1}{4})}^{2} ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.13.4

将 $- 1$ 和 ${(\frac{1}{4})}^{2}$ 重新排序。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.13.5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1^{2}}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.13.6

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2^{2}})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.13.7

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.13.8

添加圆括号。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.13.9

添加圆括号。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.14

从根式下提出各项。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - ({(\frac{1}{2})}^{2} \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.15

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.16

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.17

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.18

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \frac{\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.1.19

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- 2 \frac{y}{2}}$

解题步骤 5.2.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{y}{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- 2 y}{2}}$

解题步骤 5.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{- 2 y}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.1

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2}}$

解题步骤 5.2.3.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 (1)}}$

解题步骤 5.2.3.1.3

约去公因数。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}}$

解题步骤 5.2.3.1.4

重写表达式。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- y}{1}}$

解题步骤 5.2.3.2

用 $- y$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- y}$

解题步骤 5.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{- y})$

解题步骤 5.2.5

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- y})$

解题步骤 5.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot (- \frac{1}{y}))$

解题步骤 5.2.6

使用乘法的交换性质重写。

$f (- \frac{y}{2}) = - (- \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{y})$

解题步骤 5.2.7

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{y \cdot 4}$

解题步骤 5.2.8

将 $4$ 移到 $y$ 的左侧。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 \cdot y}$

解题步骤 5.2.9

乘以 $- - \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ 。

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解题步骤 5.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y})$

解题步骤 5.2.9.2

将 $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$

解题步骤 5.2.10

将 $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ 中的因式重新排序。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

解题步骤 5.2.11

最终答案为 $\frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$ 。

$\frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

解题步骤 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- \frac{y}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- \frac{y}{2})}^{2} + \sqrt{(- \frac{y}{2}) ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.1.1.1

对 $- \frac{y}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.1.2

对 $\frac{y}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{1 (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{2^{2}} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.5

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.1.5.1

对 $- \frac{y}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.5.2

对 $\frac{y}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{3}}{2^{3}}) + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.6

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{2^{3}} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.7

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.8

要将 $24$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24 \cdot \frac{8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.9

组合 $24$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + \frac{24 \cdot 8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.10

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 24 \cdot 8}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.11

将 $24$ 乘以 $8$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 192}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.12

合并指数。

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解题步骤 6.2.1.12.1

将 $\frac{- y^{3} + 192}{8}$ 乘以 $\frac{y}{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{8 \cdot 2}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.12.2

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.13

将 $- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}$ 重写为 ${({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)$ 。

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解题步骤 6.2.1.13.1

从 $(- y^{3} + 192) y$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.13.2

从 $16$ 中因式分解出完全幂数 $4^{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.13.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- ({(\frac{1}{4})}^{2} ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.13.4

将 $- 1$ 和 ${(\frac{1}{4})}^{2}$ 重新排序。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.13.5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1^{2}}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.13.6

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2^{2}})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.13.7

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.13.8

添加圆括号。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.13.9

添加圆括号。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.14

从根式下提出各项。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2} \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.15

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.16

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.17

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{4} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.18

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.1.19

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- 2 \frac{y}{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{y}{2}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- 2 y}{2}}$

解题步骤 6.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{- 2 y}{2}$ 。

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解题步骤 6.2.3.1.1

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2}}$

解题步骤 6.2.3.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 (1)}}$

解题步骤 6.2.3.1.3

约去公因数。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}}$

解题步骤 6.2.3.1.4

重写表达式。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- y}{1}}$

解题步骤 6.2.3.2

用 $- y$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- y}$

解题步骤 6.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{- y})$

解题步骤 6.2.5

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.5.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- y})$

解题步骤 6.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot (- \frac{1}{y}))$

解题步骤 6.2.6

使用乘法的交换性质重写。

$f (- \frac{y}{2}) = - (- \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{y})$

解题步骤 6.2.7

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{y \cdot 4}$

解题步骤 6.2.8

将 $4$ 移到 $y$ 的左侧。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 \cdot y}$

解题步骤 6.2.9

乘以 $- - \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ 。

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解题步骤 6.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y})$

解题步骤 6.2.9.2

将 $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$

解题步骤 6.2.10

将 $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ 中的因式重新排序。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

解题步骤 6.2.11

最终答案为 $\frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$ 。

$\frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

解题步骤 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}, y = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

$y = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}, y = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例