微积分学示例

$f (x) = x^{2} g (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [g (x^{2} x^{1})]$

解题步骤 1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [g x^{2 + 1}]$

解题步骤 1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [g x^{3}]$

解题步骤 1.4

因为 $g$ 对于 $x$ 是常数，所以 $g x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $g \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$g \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$g (3 x^{2})$

解题步骤 1.6

重新排序。

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解题步骤 1.6.1

将 $3$ 移到 $g$ 的左侧。

$3 \cdot g x^{2}$

解题步骤 1.6.2

重新排序 $3 g x^{2}$ 的因式。

$f' (x) = 3 x^{2} g$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $3 g$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2} g$ 对 $x$ 的导数是 $3 g \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 g \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 g (2 x)$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 g x$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $6 g x$ 。

$6 g x$

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