微积分学示例

$g (t) = {(\frac{1}{2} t^{2} - 3)}^{5}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{5}$ 且 $g (t) = \frac{1}{2} t^{2} - 3$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{2} t^{2} - 3$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 u^{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

解题步骤 1.1.3

使用 $\frac{1}{2} t^{2} - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 {(\frac{1}{2} t^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

解题步骤 1.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $\frac{t^{2}}{2} - 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])$

解题步骤 1.2.4

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{t^{2}}{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{1}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3])$

解题步骤 1.2.6

化简项。

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解题步骤 1.2.6.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{2}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3])$

解题步骤 1.2.6.2

组合 $\frac{2}{2}$ 和 $t$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])$

解题步骤 1.2.6.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.3.1

约去公因数。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])$

解题步骤 1.2.6.3.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (t + \frac{d}{d t} [- 3])$

解题步骤 1.2.7

因为 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (t + 0)$

解题步骤 1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 1.2.8.1

将 $t$ 和 $0$ 相加。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} t$

解题步骤 1.2.8.2

重新排序 $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} t$ 的因式。

$f' (t) = 5 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}]$ 。

$5 \frac{d}{d t} [t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ 。

$5 (t \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}] + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{4}$ 且 $g (t) = \frac{t^{2}}{2} - 3$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{t^{2}}{2} - 3$ 。

$5 (t (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$5 (t (4 u^{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.3.3

使用 $\frac{t^{2}}{2} - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $\frac{t^{2}}{2} - 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.4.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{t^{2}}{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{1}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.4.4

化简项。

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解题步骤 2.4.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.4.4.2

组合 $\frac{2}{2}$ 和 $t$ 。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.4.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.4.3.1

约去公因数。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.4.4.3.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (t + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.4.5

因为 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (t + 0)) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.4.6

将 $t$ 和 $0$ 相加。

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.5

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 (t^{1} t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.6

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 (t^{1} t^{1} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 (t^{1 + 1} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \cdot 1)$

解题步骤 2.10

将 ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4})$

解题步骤 2.11

化简。

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解题步骤 2.11.1

运用分配律。

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3})) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

解题步骤 2.11.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$20 (t^{2} ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3})) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

解题步骤 2.11.3

从 $20 t^{2} {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ 中分解出因数 $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ 。

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解题步骤 2.11.3.1

从 $20 t^{2} {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ 中分解出因数 $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2}) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

解题步骤 2.11.3.2

从 $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ 中分解出因数 $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2}) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{t^{2}}{2} - 3)$

解题步骤 2.11.3.3

从 $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2}) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ 中分解出因数 $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2} + \frac{t^{2}}{2} - 3)$

解题步骤 2.11.4

合并项。

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解题步骤 2.11.4.1

要将 $4 t^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{t^{2}}{2} - 3)$

解题步骤 2.11.4.2

组合 $4 t^{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{4 t^{2} \cdot 2}{2} + \frac{t^{2}}{2} - 3)$

解题步骤 2.11.4.3

在公分母上合并分子。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{4 t^{2} \cdot 2 + t^{2}}{2} - 3)$

解题步骤 2.11.4.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{8 t^{2} + t^{2}}{2} - 3)$

解题步骤 2.11.4.5

将 $8 t^{2}$ 和 $t^{2}$ 相加。

$f'' (t) = 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)]$ 。

$5 \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ 且 $g (t) = \frac{9 t^{2}}{2} - 3$ 。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} \frac{d}{d t} [\frac{9 t^{2}}{2} - 3] + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $\frac{9 t^{2}}{2} - 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\frac{9 t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{d}{d t} [\frac{9 t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

解题步骤 3.3.2

因为 $\frac{9}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{9 t^{2}}{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{9}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

解题步骤 3.3.4

化简项。

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解题步骤 3.3.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{9}{2}$ 。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 \cdot 9}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

解题步骤 3.3.4.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{18}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

解题步骤 3.3.4.3

组合 $\frac{18}{2}$ 和 $t$ 。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{18 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

解题步骤 3.3.4.4

约去 $18$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.4.4.1

从 $18 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 (9 t)}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

解题步骤 3.3.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.4.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 (9 t)}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

解题步骤 3.3.4.4.2.2

约去公因数。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 (9 t)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

解题步骤 3.3.4.4.2.3

重写表达式。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t}{1} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

解题步骤 3.3.4.4.2.4

用 $9 t$ 除以 $1$ 。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (9 t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

解题步骤 3.3.5

因为 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (9 t + 0) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

解题步骤 3.3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $9 t$ 和 $0$ 相加。

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (9 t) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

解题步骤 3.3.6.2

将 $9$ 移到 ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ 的左侧。

$5 (9 \cdot {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{3}$ 且 $g (t) = \frac{t^{2}}{2} - 3$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{t^{2}}{2} - 3$ 。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]))$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]))$

解题步骤 3.4.3

使用 $\frac{t^{2}}{2} - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) (3 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]))$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

将 $3$ 移到 $\frac{9 t^{2}}{2} - 3$ 的左侧。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 \cdot (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3])$

解题步骤 3.5.2

根据加法法则， $\frac{t^{2}}{2} - 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]))$

解题步骤 3.5.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{t^{2}}{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]))$

解题步骤 3.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{1}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]))$

解题步骤 3.5.5

化简项。

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解题步骤 3.5.5.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{2}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3]))$

解题步骤 3.5.5.2

组合 $\frac{2}{2}$ 和 $t$ 。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]))$

解题步骤 3.5.5.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.5.3.1

约去公因数。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]))$

解题步骤 3.5.5.3.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (t + \frac{d}{d t} [- 3]))$

解题步骤 3.5.6

因为 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (t + 0))$

解题步骤 3.5.7

将 $t$ 和 $0$ 相加。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (3 \frac{9 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

解题步骤 3.6.2

运用分配律。

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t) + 5 ((3 \frac{9 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

解题步骤 3.6.3

将 $9$ 乘以 $5$ 。

$45 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t) + 5 ((3 \frac{9 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

解题步骤 3.6.4

组合 $3$ 和 $\frac{9 t^{2}}{2}$ 。

$45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 ((\frac{3 (9 t^{2})}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

解题步骤 3.6.5

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 ((\frac{27 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

解题步骤 3.6.6

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 ((\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

解题步骤 3.6.7

从 $45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ 中分解出因数 $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ 。

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解题步骤 3.6.7.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 3.6.7.1.1

移动 ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ 。

$45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$

解题步骤 3.6.7.1.2

移动 ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$ 。

$45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 3.6.7.1.3

移动 $\frac{27 t^{2}}{2} - 9$ 。

$45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 3.6.7.2

从 $45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ 中分解出因数 $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 5 t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 3.6.7.3

从 $5 t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$ 中分解出因数 $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.7.4

从 $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9)$ 中分解出因数 $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + \frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.8

合并项。

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解题步骤 3.6.8.1

要将 $9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) \cdot \frac{2}{2} + \frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.8.2

组合 $9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) \cdot 2}{2} + \frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.8.3

在公分母上合并分子。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) \cdot 2 + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.8.4

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.9

重新排序 $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$ 的因式。

$5 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.10

将 ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$ 重写为 $(\frac{t^{2}}{2} - 3) (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ 。

$5 t ((\frac{t^{2}}{2} - 3) (\frac{t^{2}}{2} - 3)) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.11

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{t^{2}}{2} - 3) (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ 。

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解题步骤 3.6.11.1

运用分配律。

$5 t (\frac{t^{2}}{2} (\frac{t^{2}}{2} - 3) - 3 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.11.2

运用分配律。

$5 t (\frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.11.3

运用分配律。

$5 t (\frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.6.12.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.12.1.1

合并。

$5 t (\frac{t^{2} t^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.12.1.2

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.12.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 t (\frac{t^{2 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.12.1.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$5 t (\frac{t^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.12.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.12.1.4

组合 $\frac{t^{2}}{2}$ 和 $- 3$ 。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + \frac{t^{2} \cdot - 3}{2} - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.12.1.5

将 $- 3$ 移到 $t^{2}$ 的左侧。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + \frac{- 3 \cdot t^{2}}{2} - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.12.1.6

将负号移到分数的前面。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 \cdot t^{2}}{2} - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.12.1.7

组合 $- 3$ 和 $\frac{t^{2}}{2}$ 。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 t^{2}}{2} + \frac{- 3 t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.12.1.8

将负号移到分数的前面。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 t^{2}}{2} - \frac{3 t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.12.1.9

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 t^{2}}{2} - \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.12.2

从 $- \frac{3 t^{2}}{2}$ 中减去 $\frac{3 t^{2}}{2}$ 。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - 2 \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.13

化简每一项。

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解题步骤 3.6.13.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.13.1.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + 2 (- 1) \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.13.1.2

约去公因数。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.13.1.3

重写表达式。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - 1 (3 t^{2}) + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.13.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - 3 t^{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.14

运用分配律。

$(5 t \frac{t^{4}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.15

化简。

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解题步骤 3.6.15.1

乘以 $5 t \frac{t^{4}}{4}$ 。

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解题步骤 3.6.15.1.1

组合 $5$ 和 $\frac{t^{4}}{4}$ 。

$(t \frac{5 t^{4}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.15.1.2

组合 $t$ 和 $\frac{5 t^{4}}{4}$ 。

$(\frac{t (5 t^{4})}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.15.1.3

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{5 (t^{1} t^{4})}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.15.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(\frac{5 t^{1 + 4}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.15.1.5

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.15.2

使用乘法的交换性质重写。

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t \cdot t^{2} + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.15.3

将 $9$ 乘以 $5$ 。

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t \cdot t^{2} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.16

化简每一项。

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解题步骤 3.6.16.1

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.16.1.1

移动 $t^{2}$ 。

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 (t^{2} t) + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.16.1.2

将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.6.16.1.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 (t^{2} t^{1}) + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.16.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t^{2 + 1} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.16.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t^{3} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.16.2

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.17

化简每一项。

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解题步骤 3.6.17.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.17.1.1

从 $18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}$ 中分解出因数 $9$ 。

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解题步骤 3.6.17.1.1.1

从 $18 (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ 中分解出因数 $9$ 。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.17.1.1.2

从 $27 t^{2}$ 中分解出因数 $9$ 。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 9 (3 t^{2})}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.17.1.1.3

从 $9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 9 (3 t^{2})$ 中分解出因数 $9$ 。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 3 t^{2})}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.17.1.2

运用分配律。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot - 3 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.17.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.17.1.3.1

约去公因数。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot - 3 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.17.1.3.2

重写表达式。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (t^{2} + 2 \cdot - 3 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.17.1.4

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (t^{2} - 6 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.17.1.5

将 $t^{2}$ 和 $3 t^{2}$ 相加。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (4 t^{2} - 6)}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.17.1.6

从 $4 t^{2} - 6$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.6.17.1.6.1

从 $4 t^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (2 t^{2}) - 6)}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.17.1.6.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (2 t^{2}) + 2 (- 3))}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.17.1.6.3

从 $2 (2 t^{2}) + 2 (- 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (2 t^{2} - 3))}{2} - 9)$

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 \cdot 2 (2 t^{2} - 3)}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.17.1.7

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{18 (2 t^{2} - 3)}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.17.2

约去 $18$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.17.2.1

从 $18 (2 t^{2} - 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{2 (9 (2 t^{2} - 3))}{2} - 9)$

解题步骤 3.6.17.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.17.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{2 (9 (2 t^{2} - 3))}{2 (1)} - 9)$

解题步骤 3.6.17.2.2.2

约去公因数。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{2 (9 (2 t^{2} - 3))}{2 \cdot 1} - 9)$

解题步骤 3.6.17.2.2.3

重写表达式。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 t^{2} - 3)}{1} - 9)$

解题步骤 3.6.17.2.2.4

用 $9 (2 t^{2} - 3)$ 除以 $1$ 。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (9 (2 t^{2} - 3) - 9)$

解题步骤 3.6.17.3

运用分配律。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (9 (2 t^{2}) + 9 \cdot - 3 - 9)$

解题步骤 3.6.17.4

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} + 9 \cdot - 3 - 9)$

解题步骤 3.6.17.5

将 $9$ 乘以 $- 3$ 。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} - 27 - 9)$

解题步骤 3.6.18

从 $- 27$ 中减去 $9$ 。

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} - 36)$

解题步骤 3.6.19

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} - 36)$ 。

$\frac{5 t^{5}}{4} (18 t^{2}) + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20

化简每一项。

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解题步骤 3.6.20.1

使用乘法的交换性质重写。

$18 \frac{5 t^{5}}{4} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.20.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (9) \frac{5 t^{5}}{4} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.2.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cdot 9 \frac{5 t^{5}}{2 \cdot 2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.2.3

约去公因数。

$2 \cdot 9 \frac{5 t^{5}}{2 \cdot 2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.2.4

重写表达式。

$9 \frac{5 t^{5}}{2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.3

组合 $9$ 和 $\frac{5 t^{5}}{2}$ 。

$\frac{9 (5 t^{5})}{2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.4

将 $5$ 乘以 $9$ 。

$\frac{45 t^{5}}{2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.5

乘以 $\frac{45 t^{5}}{2} t^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.20.5.1

组合 $\frac{45 t^{5}}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$\frac{45 t^{5} t^{2}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.5.2

通过指数相加将 $t^{5}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.20.5.2.1

移动 $t^{2}$ 。

$\frac{45 (t^{2} t^{5})}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{45 t^{2 + 5}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.5.2.3

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$\frac{45 t^{7}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.20.6.1

从 $- 36$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{45 t^{7}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot (4 (- 9)) - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.6.2

约去公因数。

$\frac{45 t^{7}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot (4 \cdot - 9) - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.6.3

重写表达式。

$\frac{45 t^{7}}{2} + 5 t^{5} \cdot - 9 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.7

将 $- 9$ 乘以 $5$ 。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.8

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 t^{3} t^{2} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.9

通过指数相加将 $t^{3}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.20.9.1

移动 $t^{2}$ 。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 (t^{2} t^{3}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.9.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 t^{2 + 3} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.9.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 t^{5} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.10

将 $- 15$ 乘以 $18$ 。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.11

将 $- 36$ 乘以 $- 15$ 。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.12

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 t \cdot t^{2} + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.13

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.20.13.1

移动 $t^{2}$ 。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 (t^{2} t) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.13.2

将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.6.20.13.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 (t^{2} t^{1}) + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.13.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 t^{2 + 1} + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.13.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 t^{3} + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.14

将 $45$ 乘以 $18$ 。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 810 t^{3} + 45 t \cdot - 36$

解题步骤 3.6.20.15

将 $- 36$ 乘以 $45$ 。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 810 t^{3} - 1620 t$

解题步骤 3.6.21

从 $- 45 t^{5}$ 中减去 $270 t^{5}$ 。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 540 t^{3} + 810 t^{3} - 1620 t$

解题步骤 3.6.22

将 $540 t^{3}$ 和 $810 t^{3}$ 相加。

$f''' (t) = \frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 1350 t^{3} - 1620 t$

解题步骤 4

$g (t)$ 对 $t$ 的三阶导数是 $\frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 1350 t^{3} - 1620 t$ 。

$\frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 1350 t^{3} - 1620 t$

微积分学 示例

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