微积分学示例

$G (x) = (3 x^{2} + 5) (4 x + \sqrt{x})$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [(3 x^{2} + 5) (4 x + x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3 x^{2} + 5$ 且 $g (x) = 4 x + x^{\frac{1}{2}}$ 。

$(3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [4 x + x^{\frac{1}{2}}] + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $4 x + x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$(3 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

解题步骤 1.3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(3 x^{2} + 5) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(3 x^{2} + 5) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

解题步骤 1.3.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

解题步骤 1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

解题步骤 1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

解题步骤 1.7

化简分子。

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解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

解题步骤 1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

解题步骤 1.8

合并分数。

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解题步骤 1.8.1

将负号移到分数的前面。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

解题步骤 1.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

解题步骤 1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

解题步骤 1.9

根据加法法则， $3 x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 1.10

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 1.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 1.12

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) (6 x + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 1.13

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) (6 x + 0)$

解题步骤 1.14

化简表达式。

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解题步骤 1.14.1

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (4 x + x^{\frac{1}{2}}) (6 x)$

解题步骤 1.14.2

将 $6$ 移到 $4 x + x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 6 \cdot (4 x + x^{\frac{1}{2}}) x$

解题步骤 1.15

化简。

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解题步骤 1.15.1

运用分配律。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (6 (4 x) + 6 x^{\frac{1}{2}}) x$

解题步骤 1.15.2

运用分配律。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 6 (4 x) x + 6 x^{\frac{1}{2}} x$

解题步骤 1.15.3

合并项。

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解题步骤 1.15.3.1

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 24 x \cdot x + 6 x^{\frac{1}{2}} x$

解题步骤 1.15.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 24 (x^{1} x) + 6 x^{\frac{1}{2}} x$

解题步骤 1.15.3.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 24 (x^{1} x^{1}) + 6 x^{\frac{1}{2}} x$

解题步骤 1.15.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 24 x^{1 + 1} + 6 x^{\frac{1}{2}} x$

解题步骤 1.15.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 24 x^{2} + 6 x^{\frac{1}{2}} x$

解题步骤 1.15.3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 24 x^{2} + 6 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 24 x^{2} + 6 x^{1 + \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.15.3.8

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 24 x^{2} + 6 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.15.3.9

在公分母上合并分子。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 24 x^{2} + 6 x^{\frac{2 + 1}{2}}$

解题步骤 1.15.3.10

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 24 x^{2} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.15.4

重新排序项。

$24 x^{2} + (3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 6 x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.15.5

化简每一项。

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解题步骤 1.15.5.1

使用 FOIL 方法展开 $(3 x^{2} + 5) (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ 。

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解题步骤 1.15.5.1.1

运用分配律。

$24 x^{2} + 3 x^{2} (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 5 (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 6 x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.15.5.1.2

运用分配律。

$24 x^{2} + 3 x^{2} \cdot 4 + 3 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (4 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 6 x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.15.5.1.3

运用分配律。

$24 x^{2} + 3 x^{2} \cdot 4 + 3 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 \cdot 4 + 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.15.5.2

化简每一项。

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解题步骤 1.15.5.2.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$24 x^{2} + 12 x^{2} + 3 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 \cdot 4 + 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.15.5.2.2

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.15.5.2.2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$24 x^{2} + 12 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 \cdot 4 + 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.15.5.2.2.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$24 x^{2} + 12 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 5 \cdot 4 + 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.15.5.2.2.3

约去公因数。

$24 x^{2} + 12 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 5 \cdot 4 + 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.15.5.2.2.4

重写表达式。

$24 x^{2} + 12 x^{2} + 3 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} + 5 \cdot 4 + 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.15.5.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$24 x^{2} + 12 x^{2} + x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{2} + 5 \cdot 4 + 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.15.5.2.4

组合 $x^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$24 x^{2} + 12 x^{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{2} + 5 \cdot 4 + 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.15.5.2.5

将 $3$ 移到 $x^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$24 x^{2} + 12 x^{2} + \frac{3 \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2} + 5 \cdot 4 + 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.15.5.2.6

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$24 x^{2} + 12 x^{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 20 + 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.15.5.2.7

组合 $5$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$24 x^{2} + 12 x^{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 20 + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.15.6

将 $24 x^{2}$ 和 $12 x^{2}$ 相加。

$36 x^{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 20 + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.15.7

要将 $6 x^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$36 x^{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 6 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + 20 + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.8

组合 $6 x^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$36 x^{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{6 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 20 + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.9

在公分母上合并分子。

$36 x^{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 20 + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.10

化简分子。

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解题步骤 1.15.10.1

从 $3 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2$ 中分解出因数 $3 x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 1.15.10.1.1

移动 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$36 x^{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 20 + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.10.1.2

从 $3 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $3 x^{\frac{3}{2}}$ 。

$36 x^{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} (1) + 6 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 20 + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.10.1.3

从 $6 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $3 x^{\frac{3}{2}}$ 。

$36 x^{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} (1) + 3 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)}{2} + 20 + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.10.1.4

从 $3 x^{\frac{3}{2}} (1) + 3 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)$ 中分解出因数 $3 x^{\frac{3}{2}}$ 。

$36 x^{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} (1 + 2 \cdot 2)}{2} + 20 + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$36 x^{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} (1 + 4)}{2} + 20 + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.10.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$36 x^{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} + 20 + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.10.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 36 x^{2} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 20 + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $36 x^{2} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 20 + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$36 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $36$ 。

$72 x + \frac{d}{d x} [\frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $\frac{15}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{15}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$72 x + \frac{15}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$72 x + \frac{15}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$72 x + \frac{15}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$72 x + \frac{15}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3.5

在公分母上合并分子。

$72 x + \frac{15}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3.6

化简分子。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$72 x + \frac{15}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3.6.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$72 x + \frac{15}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3.7

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$72 x + \frac{15}{2} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3.8

将 $\frac{15}{2}$ 乘以 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$72 x + \frac{15 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3.9

将 $3$ 乘以 $15$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3.10

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.4

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.5

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

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解题步骤 2.5.1

因为 $\frac{5}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.5.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 2.5.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.5.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.5.3.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.5.5

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.5.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.5.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.5.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.5.5.2.2

约去公因数。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.5.5.2.3

重写表达式。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.5.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 2.5.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 2.5.8

在公分母上合并分子。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 2.5.9

化简分子。

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解题步骤 2.5.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 2.5.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 2.5.10

将负号移到分数的前面。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 2.5.11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.5.12

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x^{- 1}$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

解题步骤 2.5.13

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 2.5.13.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

解题步骤 2.5.13.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.5.13.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.5.13.4

在公分母上合并分子。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.5.13.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.13.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.5.13.5.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

解题步骤 2.5.13.6

将负号移到分数的前面。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 2.5.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 + \frac{5}{2} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 2.5.15

将 $\frac{5}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 - \frac{5}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 2.5.16

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} + 0 - \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.6

将 $72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} - \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $72 x + \frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4} - \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [\frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [\frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [72 x]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $72$ 对于 $x$ 是常数，所以 $72 x$ 对 $x$ 的导数是 $72 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.2.3

将 $72$ 乘以 $1$ 。

$72 + \frac{d}{d x} [\frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $\frac{45}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{45 x^{\frac{1}{2}}}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{45}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$72 + \frac{45}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$72 + \frac{45}{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$72 + \frac{45}{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$72 + \frac{45}{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.3.5

在公分母上合并分子。

$72 + \frac{45}{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.3.6

化简分子。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$72 + \frac{45}{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$72 + \frac{45}{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.3.7

将负号移到分数的前面。

$72 + \frac{45}{4} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.3.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$72 + \frac{45}{4} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.3.9

将 $\frac{45}{4}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$72 + \frac{45 x^{- \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.3.10

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$72 + \frac{45 x^{- \frac{1}{2}}}{8} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- \frac{5}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 3.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 3.4.3.3

使用 $x^{\frac{3}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

解题步骤 3.4.5

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

解题步骤 3.4.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.5.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

解题步骤 3.4.5.2.2

约去公因数。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

解题步骤 3.4.5.2.3

重写表达式。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- x^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

解题步骤 3.4.5.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

解题步骤 3.4.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 3.4.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 3.4.8

在公分母上合并分子。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 3.4.9

化简分子。

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解题步骤 3.4.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}))$

解题步骤 3.4.9.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 3.4.10

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- x^{- 3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 3.4.11

组合 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x^{- 3}$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}}{2})$

解题步骤 3.4.12

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{- 3}$ 。

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解题步骤 3.4.12.1

移动 $x^{- 3}$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- \frac{3 (x^{- 3} x^{\frac{1}{2}})}{2})$

解题步骤 3.4.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- \frac{3 x^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 3.4.12.3

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- \frac{3 x^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 3.4.12.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 3.4.12.5

在公分母上合并分子。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2})$

解题步骤 3.4.12.6

化简分子。

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解题步骤 3.4.12.6.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- \frac{3 x^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2})$

解题步骤 3.4.12.6.2

将 $- 6$ 和 $1$ 相加。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- \frac{3 x^{\frac{- 5}{2}}}{2})$

解题步骤 3.4.12.7

将负号移到分数的前面。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- \frac{3 x^{- \frac{5}{2}}}{2})$

解题步骤 3.4.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{2}}$ 移动到分母。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{4} (- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}})$

解题步骤 3.4.14

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} + 1 (\frac{5}{4}) \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.4.15

将 $\frac{5}{4}$ 乘以 $1$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{4} \cdot \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.4.16

将 $\frac{5}{4}$ 乘以 $\frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5 \cdot 3}{4 (2 x^{\frac{5}{2}})}$

解题步骤 3.4.17

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{15}{4 (2 x^{\frac{5}{2}})}$

解题步骤 3.4.18

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f''' (x) = 72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $72 + \frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [72] + \frac{d}{d x} [\frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [72] + \frac{d}{d x} [\frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.1.2

因为 $72$ 对于 $x$ 是常数，所以 $72$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $\frac{45}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{45}{8 x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{45}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$0 + \frac{45}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$0 + \frac{45}{8} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$0 + \frac{45}{8} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0 + \frac{45}{8} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.3.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$0 + \frac{45}{8} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$0 + \frac{45}{8} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.5

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 + \frac{45}{8} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{45}{8} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.5.2.2

约去公因数。

$0 + \frac{45}{8} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.5.2.3

重写表达式。

$0 + \frac{45}{8} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + \frac{45}{8} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + \frac{45}{8} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.8

在公分母上合并分子。

$0 + \frac{45}{8} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.9

化简分子。

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解题步骤 4.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 + \frac{45}{8} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$0 + \frac{45}{8} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.10

将负号移到分数的前面。

$0 + \frac{45}{8} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$0 + \frac{45}{8} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.12

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x^{- 1}$ 。

$0 + \frac{45}{8} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.13

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 4.2.13.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0 + \frac{45}{8} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.13.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + \frac{45}{8} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.13.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + \frac{45}{8} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.13.4

在公分母上合并分子。

$0 + \frac{45}{8} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.13.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.13.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 + \frac{45}{8} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.13.5.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$0 + \frac{45}{8} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.13.6

将负号移到分数的前面。

$0 + \frac{45}{8} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$0 + \frac{45}{8} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.15

将 $\frac{45}{8}$ 乘以 $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$0 - \frac{45}{8 (2 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.2.16

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $\frac{15}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{15}{8 x^{\frac{5}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{15}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 4.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

解题步骤 4.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

解题步骤 4.3.3.3

使用 $x^{\frac{5}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

解题步骤 4.3.5

将 ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- x^{\frac{5}{2} \cdot - 2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

解题步骤 4.3.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- x^{\frac{5}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

解题步骤 4.3.5.2.2

约去公因数。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- x^{\frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

解题步骤 4.3.5.2.3

重写表达式。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- x^{5 \cdot - 1} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

解题步骤 4.3.5.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

解题步骤 4.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 4.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 4.3.8

在公分母上合并分子。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 4.3.9

化简分子。

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解题步骤 4.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}))$

解题步骤 4.3.9.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 4.3.10

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- x^{- 5} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 4.3.11

组合 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 和 $x^{- 5}$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- \frac{5 x^{\frac{3}{2}} x^{- 5}}{2})$

解题步骤 4.3.12

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{- 5}$ 。

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解题步骤 4.3.12.1

移动 $x^{- 5}$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- \frac{5 (x^{- 5} x^{\frac{3}{2}})}{2})$

解题步骤 4.3.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- \frac{5 x^{- 5 + \frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 4.3.12.3

要将 $- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- \frac{5 x^{- 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 4.3.12.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- \frac{5 x^{\frac{- 5 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 4.3.12.5

在公分母上合并分子。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- \frac{5 x^{\frac{- 5 \cdot 2 + 3}{2}}}{2})$

解题步骤 4.3.12.6

化简分子。

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解题步骤 4.3.12.6.1

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- \frac{5 x^{\frac{- 10 + 3}{2}}}{2})$

解题步骤 4.3.12.6.2

将 $- 10$ 和 $3$ 相加。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- \frac{5 x^{\frac{- 7}{2}}}{2})$

解题步骤 4.3.12.7

将负号移到分数的前面。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- \frac{5 x^{- \frac{7}{2}}}{2})$

解题步骤 4.3.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{7}{2}}$ 移动到分母。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{15}{8} (- \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}})$

解题步骤 4.3.14

将 $\frac{15}{8}$ 乘以 $\frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{15 \cdot 5}{8 (2 x^{\frac{7}{2}})}$

解题步骤 4.3.15

将 $15$ 乘以 $5$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{75}{8 (2 x^{\frac{7}{2}})}$

解题步骤 4.3.16

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$0 - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{75}{16 x^{\frac{7}{2}}}$

解题步骤 4.4

从 $0$ 中减去 $\frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{75}{16 x^{\frac{7}{2}}}$

解题步骤 5

$G (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $- \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{75}{16 x^{\frac{7}{2}}}$ 。

$- \frac{45}{16 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{75}{16 x^{\frac{7}{2}}}$

微积分学 示例

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