微积分学示例

$y = \frac{20 x}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{20 x}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$ 无定义。

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{20 x}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

因为项 $20$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$20 lim_{x \to \infty} \frac{x}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 3.2

将 ${(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{4}}$ 重写为 $\sqrt[4]{x^{4} + 1}$ 。

$20 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt[4]{x^{4} + 1}}$

解题步骤 3.3

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = \sqrt[4]{x^{4}}$ 。

$20 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt[4]{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}$

解题步骤 3.4

计算极限值。

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解题步骤 3.4.1

约去 $x$ 的公因数。

$20 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[4]{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}$

解题步骤 3.4.2

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

约去公因数。

$20 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[4]{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}$

解题步骤 3.4.2.2

重写表达式。

$20 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[4]{1 + \frac{1}{x^{4}}}}$

解题步骤 3.4.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$20 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt[4]{1 + \frac{1}{x^{4}}}}$

解题步骤 3.4.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$20 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt[4]{1 + \frac{1}{x^{4}}}}$

解题步骤 3.4.5

将极限移入根号内。

$20 \frac{1}{\sqrt[4]{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{4}}}}$

解题步骤 3.4.6

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$20 \frac{1}{\sqrt[4]{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}}$

解题步骤 3.4.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$20 \frac{1}{\sqrt[4]{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}}$

解题步骤 3.5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{4}}$ 趋于 $0$ 。

$20 \frac{1}{\sqrt[4]{1 + 0}}$

解题步骤 3.6

化简答案。

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解题步骤 3.6.1

化简分母。

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解题步骤 3.6.1.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$20 \frac{1}{\sqrt[4]{1}}$

解题步骤 3.6.1.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$20 (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.6.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.1

约去公因数。

$20 (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.6.2.2

重写表达式。

$20 \cdot 1$

解题步骤 3.6.3

将 $20$ 乘以 $1$ 。

$20$

解题步骤 4

列出水平渐近线：

$y = 20$

解题步骤 5

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

水平渐近线： $y = 20$

不存在斜渐近线

解题步骤 7

微积分学 示例

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