微积分学示例

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{6}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 1

求函数的导数。要求与线相切的方程的斜率，请对所需值 $x$ 求导数。

$\frac{d}{d x} (\sec (x))$

解题步骤 2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 3

$y$ 的方程的导数也可以表示为 $f' (x)$ 。

$f' (x) = \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 4

使用表达式中的 $\frac{π}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{π}{6}) = \sec (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 5

$\sec (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 6

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 7

合并和化简分母。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 7.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 7.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 7.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.6.4.1

约去公因数。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 7.6.4.2

重写表达式。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 7.6.5

计算指数。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 8

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9

乘以 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 9.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

解题步骤 9.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

解题步骤 9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 9.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

解题步骤 10

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

解题步骤 10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

解题步骤 10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

解题步骤 10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.1

约去公因数。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

解题步骤 10.4.2

重写表达式。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3}{9}$

解题步骤 10.5

计算指数。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3}{9}$

解题步骤 11

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{6}{9}$

解题步骤 12

约去 $6$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 12.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{3 (2)}{9}$

解题步骤 12.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

解题步骤 12.2.2

约去公因数。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

解题步骤 12.2.3

重写表达式。

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2}{3}$

解题步骤 13

点 $(\frac{π}{6}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 处的导数为 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3}$

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