微积分学示例

$h (x) = 6 \cos^{4} (x) \sin (x)$ , $[0, π]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$h (x)$ 在 $[0, π]$ 上连续。

$h (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $h$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\int_{0}^{π} 6 \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

解题步骤 5

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{0}^{π} \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

解题步骤 6

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 6.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 6.2

将下限代入替换 $u = \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \cos (0)$

解题步骤 6.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 6.4

将上限代入替换 $u = \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \cos (π)$

解题步骤 6.5

化简。

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解题步骤 6.5.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$u_{upper} = - \cos (0)$

解题步骤 6.5.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

解题步骤 6.5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 6.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 6.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{1}^{- 1} - u^{4} d u)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (- \int_{1}^{- 1} u^{4} d u))$

解题步骤 8

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 \int_{1}^{- 1} u^{4} d u)$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{- 1}))$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $u^{5}$ 。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{- 1}))$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $\frac{u^{5}}{5}$ 在 $- 1$ 处和在 $1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5}))$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

解题步骤 11.2.2

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

解题步骤 11.2.3

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5}))$

解题步骤 11.2.4

从 $- \frac{1}{5}$ 中减去 $\frac{1}{5}$ 。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- 2 (\frac{1}{5})))$

解题步骤 11.2.5

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 2}{5}))$

解题步骤 11.2.6

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{2}{5}))$

解题步骤 11.2.7

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (\frac{2}{5}))$

解题步骤 11.2.8

组合 $6$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{6 \cdot 2}{5})$

解题步骤 11.2.9

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{12}{5})$

解题步骤 12

化简分母。

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解题步骤 12.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{π + 0} \cdot \frac{12}{5}$

解题步骤 12.2

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot \frac{12}{5}$

解题步骤 13

合并分数。

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解题步骤 13.1

将 $\frac{1}{π}$ 乘以 $\frac{12}{5}$ 。

$A (x) = \frac{12}{π \cdot 5}$

解题步骤 13.2

将 $5$ 移到 $π$ 的左侧。

$A (x) = \frac{12}{5 π}$

解题步骤 14

微积分学 示例

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