微积分学示例

$g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ , $[2, 5]$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $g (t)$ 在 $[2, 5]$ 上是否连续，需要求出 $g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{5 + t^{2}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$5 + t^{2} \geq 0$

解题步骤 1.2

求解 $t$ 。

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解题步骤 1.2.1

从不等式两边同时减去 $5$ 。

$t^{2} \geq - 5$

解题步骤 1.2.2

因为左边为偶次幂，所以对所有实数都为正。

所有实数

解题步骤 1.3

将 $\frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{5 + t^{2}} = 0$

解题步骤 1.4

求解 $t$ 。

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解题步骤 1.4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{5 + t^{2}}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 1.4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 + t^{2}}$ 重写成 ${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 1.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简 ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

将 ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(5 + t^{2})}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

化简。

$5 + t^{2} = 0^{2}$

解题步骤 1.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$5 + t^{2} = 0$

解题步骤 1.4.3

求解 $t$ 。

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解题步骤 1.4.3.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$t^{2} = - 5$

解题步骤 1.4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

解题步骤 1.4.3.3

化简 $\pm \sqrt{- 5}$ 。

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解题步骤 1.4.3.3.1

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

解题步骤 1.4.3.3.2

将 $\sqrt{- 1 (5)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ 。

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

解题步骤 1.4.3.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$t = \pm i \sqrt{5}$

解题步骤 1.4.3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.4.3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$t = i \sqrt{5}$

解题步骤 1.4.3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$t = - i \sqrt{5}$

解题步骤 1.4.3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

解题步骤 1.5

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${t | t \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${t | t \in ℝ}$

解题步骤 2

$g (t)$ 在 $[2, 5]$ 上连续。

$g (t)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $g$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}} d t)$

解题步骤 5

使 $u = 5 + t^{2}$ 。然后使 $d u = 2 t d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = t d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 5 + t^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $5 + t^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d t} [5 + t^{2}]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $5 + t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 5.1.3

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 5.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 t$

解题步骤 5.1.5

将 $0$ 和 $2 t$ 相加。

$2 t$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = 5 + t^{2}$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 5 + 2^{2}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{lower} = 5 + 4$

解题步骤 5.3.2

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$u_{lower} = 9$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = 5 + t^{2}$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 5 + 5^{2}$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 5 + 25$

解题步骤 5.5.2

将 $5$ 和 $25$ 相加。

$u_{upper} = 30$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 30$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u)$

解题步骤 6.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

解题步骤 8

应用指数的基本规则。

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解题步骤 8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

解题步骤 8.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

解题步骤 8.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

解题步骤 8.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

解题步骤 8.3.3

将负号移到分数的前面。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}}]_{9}^{30})$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 在 $30$ 处和在 $9$ 处的值。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot ((2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

解题步骤 10.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.1

约去公因数。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

解题步骤 10.2.3.2

重写表达式。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

解题步骤 10.2.4

计算指数。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

解题步骤 10.2.5

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 6))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

解题步骤 11.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1

从 $2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 (30^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

解题步骤 11.2.2

约去公因数。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

解题步骤 11.2.3

重写表达式。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

解题步骤 11.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 3)))$

解题步骤 11.3.2

约去公因数。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 3))$

解题步骤 11.3.3

重写表达式。

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

解题步骤 12

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

解题步骤 13

运用分配律。

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot 30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 14

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $30^{\frac{1}{2}}$ 。

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

解题步骤 15

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 15.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))$

解题步骤 15.2

约去公因数。

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

解题步骤 15.3

重写表达式。

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} - 1$

解题步骤 16

微积分学 示例

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