微积分学示例

$f (x) = x^{n}$ ; $[0, 1]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} x^{n} d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{n}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{n + 1} x^{n + 1}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{n + 1} \cdot x^{n + 1}]_{0}^{1})$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{n + 1}$ 和 $x^{n + 1}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{x^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1})$

解题步骤 6.2

代入并化简。

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解题步骤 6.2.1

计算 $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((\frac{1^{n + 1}}{n + 1}) - \frac{0^{n + 1}}{n + 1})$

解题步骤 6.2.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{n + 1} - \frac{0^{n + 1}}{n + 1})$

解题步骤 6.2.2.2

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1})$

解题步骤 7

化简分母。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot \frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$

解题步骤 7.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

用 $1$ 除以 $1$ 。

$A (x) = 1 \cdot \frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$

解题步骤 9

微积分学 示例

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