微积分学示例

$f (x) = \tan (x)$ , $(\frac{- π}{4}, - 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = \frac{- π}{4}$ 和 $y = - 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x)$

解题步骤 1.2

计算在 $x = \frac{- π}{4}$ 处的导数。

$\sec^{2} (\frac{- π}{4})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sec^{2} (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.3.2

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\sec^{2} (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 1.3.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\sec^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.3.4

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

${(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}$

解题步骤 1.3.5

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

${(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

解题步骤 1.3.6

合并和化简分母。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

解题步骤 1.3.6.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

解题步骤 1.3.6.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

解题步骤 1.3.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

解题步骤 1.3.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

解题步骤 1.3.6.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.3.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

解题步骤 1.3.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

解题步骤 1.3.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

解题步骤 1.3.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.6.6.4.1

约去公因数。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

解题步骤 1.3.6.6.4.2

重写表达式。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

解题步骤 1.3.6.6.5

计算指数。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 1.3.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.7.1

约去公因数。

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 1.3.7.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

${\sqrt{2}}^{2}$

解题步骤 1.3.8

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 1.3.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 1.3.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 1.3.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.8.4.1

约去公因数。

$2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 1.3.8.4.2

重写表达式。

$2^{1}$

解题步骤 1.3.8.5

计算指数。

$2$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $2$ 和给定点 $(\frac{- π}{4}, - 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 1) = 2 \cdot (x - (\frac{- π}{4}))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 1 = 2 \cdot (x + \frac{π}{4})$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $2 \cdot (x + \frac{π}{4})$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y + 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x + \frac{π}{4})$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y + 1 = 2 \cdot (x + \frac{π}{4})$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y + 1 = 2 x + 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 2.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + 1 = 2 x + 2 \frac{π}{2 (2)}$

解题步骤 2.3.1.4.2

约去公因数。

$y + 1 = 2 x + 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.1.4.3

重写表达式。

$y + 1 = 2 x + \frac{π}{2}$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = 2 x + \frac{π}{2} - 1$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = 2 x + \frac{π}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 2.3.3.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = 2 x + \frac{π}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.3.3.3

在公分母上合并分子。

$y = 2 x + \frac{π - 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = 2 x + \frac{π - 2}{2}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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