微积分学示例

$y = \frac{4 + \csc (x)}{8 - \csc (x)}$ , $(\frac{π}{6}, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = \frac{π}{6}$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 4 + \csc (x)$ 且 $g (x) = 8 - \csc (x)$ 。

$\frac{(8 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [4 + \csc (x)] - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $4 + \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ 。

$\frac{(8 - \csc (x)) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(8 - \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ 相加。

$\frac{(8 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)] - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.3

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.4

求微分。

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解题步骤 1.4.1

根据加法法则， $8 - \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ 。

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.4.2

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ 相加。

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [- \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ 。

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (- \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.4.5

乘。

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解题步骤 1.4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.2

将 $4 + \csc (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.5

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

运用分配律。

$\frac{8 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6.2

运用分配律。

$\frac{8 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6.3

化简分子。

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解题步骤 1.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- 8 (\csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.1.2

乘以 $- \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$ 。

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解题步骤 1.6.3.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + 1 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.1.2.2

将 $\csc (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.1.2.3

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.1.2.4

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.1.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.1.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 (\csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.1.5

乘以 $- \csc (x) \csc (x)$ 。

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解题步骤 1.6.3.1.5.1

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.1.5.2

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.1.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.1.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.2

合并 $- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)$ 中相反的项。

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解题步骤 1.6.3.2.1

从 $\csc^{2} (x) \cot (x)$ 中减去 $\csc^{2} (x) \cot (x)$ 。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) + 0}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.2.2

将 $- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.3

从 $- 8 \csc (x) \cot (x)$ 中减去 $4 \csc (x) \cot (x)$ 。

$\frac{- 12 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.6.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{12 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 1.7

计算在 $x = \frac{π}{6}$ 处的导数。

$- \frac{12 \csc (\frac{π}{6}) \cot (\frac{π}{6})}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

解题步骤 1.8

化简。

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解题步骤 1.8.1

化简分子。

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解题步骤 1.8.1.1

$\csc (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $2$ 。

$- \frac{12 \cdot 2 \cot (\frac{π}{6})}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

解题步骤 1.8.1.2

$\cot (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$- \frac{12 \cdot 2 \sqrt{3}}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

解题步骤 1.8.1.3

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

解题步骤 1.8.2

化简分母。

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解题步骤 1.8.2.1

$\csc (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $2$ 。

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - 1 \cdot 2)}^{2}}$

解题步骤 1.8.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.8.2.3

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{24 \sqrt{3}}{6^{2}}$

解题步骤 1.8.2.4

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{24 \sqrt{3}}{36}$

解题步骤 1.8.3

约去 $24$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.3.1

从 $24 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $12$ 。

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{36}$

解题步骤 1.8.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.8.3.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $12$ 。

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{12 (3)}$

解题步骤 1.8.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{12 \cdot 3}$

解题步骤 1.8.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 和给定点 $(\frac{π}{6}, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3.1.2

化简项。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$y - 1 = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x - \frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3.1.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.3.1

将 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3.1.2.3.2

将 $- \frac{π}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

解题步骤 2.3.1.2.3.3

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

解题步骤 2.3.1.2.3.4

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{2 (3)}$

解题步骤 2.3.1.2.3.5

约去公因数。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.1.2.3.6

重写表达式。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- π}{3}$

解题步骤 2.3.1.2.4

将 $\frac{- \sqrt{3}}{3}$ 乘以 $\frac{- π}{3}$ 。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- \sqrt{3} (- π)}{3 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.1.2.5

乘。

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解题步骤 2.3.1.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{1 \sqrt{3} π}{3 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.1.2.5.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{3 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.1.2.5.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9}$

解题步骤 2.3.1.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$y - 1 = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9}$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9} + 1$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9} + \frac{9}{9}$

解题步骤 2.3.3.2

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

解题步骤 2.3.3.3

重新排序项。

$y = - (\frac{2 \sqrt{3}}{3} x) + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

解题步骤 2.3.3.4

去掉圆括号。

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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