微积分学示例

$\frac{1}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{1 + \cos (x)} d x$

解题步骤 4

使用倍角公式把 $\cos (x)$ 转换为 $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ 。

$\int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 5

使用勾股定理将 $1$ 转化为 $\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2})$ 。

$\int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

从 ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ 中减去 ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{{\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

解题步骤 6.2

将 ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ 和 ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ 相加。

$\int \frac{1}{2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

解题步骤 6.3

将 $2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 7

将自变量乘以 $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 8

合并。

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 9

将 ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 10

将 $\sec (\frac{x}{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

解题步骤 11

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 11.1

对 $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ 运用乘积法则。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

解题步骤 11.2

约去 $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1

从 $2 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ 中分解出因数 $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

解题步骤 11.2.2

约去公因数。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

解题步骤 11.2.3

重写表达式。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1^{2}} d x$

解题步骤 11.3

化简表达式。

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解题步骤 11.3.1

一的任意次幂都为一。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1} d x$

解题步骤 11.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} d x$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

解题步骤 13

使 $u = \frac{x}{2}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{2} d x$ ，以便 $2 d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 13.1

设 $u = \frac{x}{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1.1

对 $\frac{x}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 13.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 13.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 13.1.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 13.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

解题步骤 14.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

解题步骤 14.3

将 $2$ 移到 $\sec^{2} (u)$ 的左侧。

$\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u) d u$

解题步骤 15

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u) d u)$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

解题步骤 16.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

解题步骤 16.2.2

重写表达式。

$1 \int \sec^{2} (u) d u$

解题步骤 16.3

将 $\int \sec^{2} (u) d u$ 乘以 $1$ 。

$\int \sec^{2} (u) d u$

解题步骤 17

因为 $\tan (u)$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ ，所以 $\sec^{2} (u)$ 的积分为 $\tan (u)$ 。

$\tan (u) + C$

解题步骤 18

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\tan (\frac{x}{2}) + C$

解题步骤 19

重新排序项。

$\tan (\frac{1}{2} x) + C$

解题步骤 20

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{1 + \cos (x)}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\tan (\frac{1}{2} x) + C$

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