微积分学示例

$\sin (\sqrt{x})$

解题步骤 1

将 $\sin (\sqrt{x})$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sin (\sqrt{x})$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sin (\sqrt{x}) d x$

解题步骤 4

使 $u = \sqrt{x}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ，以便 $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

$\int 2 u \sin (u) d u$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int u \sin (u) d u$

解题步骤 6

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u$ ， $dv = \sin (u)$ 。

$2 (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

解题步骤 8.2

将 $\int \cos (u) d u$ 乘以 $1$ 。

$2 (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

解题步骤 9

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$2 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

解题步骤 10

将 $2 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ 重写为 $2 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ 。

$2 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

解题步骤 11

使用 $\sqrt{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (- \sqrt{x} \cos (\sqrt{x}) + \sin (\sqrt{x})) + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = \sin (\sqrt{x})$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 (- \sqrt{x} \cos (\sqrt{x}) + \sin (\sqrt{x})) + C$

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