微积分学示例

$\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

从 $x^{3} + 2 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} x + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 5.1.2

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 5.1.3

从 $x^{2} x + x^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 5.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\int x^{2} (x + 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.3.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\int x^{- \frac{1}{2}} x^{2} (x + 2) d x$

解题步骤 5.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2} (x + 2) d x$

解题步骤 5.3.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (x + 2) d x$

解题步骤 5.3.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (x + 2) d x$

解题步骤 5.3.5

在公分母上合并分子。

$\int x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (x + 2) d x$

解题步骤 5.3.6

化简分子。

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解题步骤 5.3.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int x^{\frac{- 1 + 4}{2}} (x + 2) d x$

解题步骤 5.3.6.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\int x^{\frac{3}{2}} (x + 2) d x$

解题步骤 6

展开 $x^{\frac{3}{2}} (x + 2)$ 。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\int x^{\frac{3}{2}} x + x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d x$

解题步骤 6.2

将 $x^{\frac{3}{2}}$ 和 $2$ 重新排序。

$\int x^{\frac{3}{2}} x + 2 \cdot x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{\frac{3}{2}} x^{1} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{\frac{3}{2} + 1} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int x^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6.6

在公分母上合并分子。

$\int x^{\frac{3 + 2}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6.7

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\int x^{\frac{5}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6.8

将 $x^{\frac{5}{2}}$ 和 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 重新排序。

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}} d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

解题步骤 8

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{\frac{5}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ 。

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

解题步骤 11.2

化简。

$\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

解题步骤 11.3

重新排序项。

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

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