微积分学示例

$\sqrt{x} (6 + 10 x)$

解题步骤 1

将 $\sqrt{x} (6 + 10 x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sqrt{x} (6 + 10 x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sqrt{x} (6 + 10 x) d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = 6 + 10 x$ ， $d v = \sqrt{x}$ 。

$(6 + 10 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 10 d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$(6 + 10 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 10 d x$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$(6 + 10 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 10 d x$

解题步骤 5.3

组合 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 和 $10$ 。

$(6 + 10 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 10}{3} d x$

解题步骤 5.4

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$(6 + 10 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{20 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{20}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{20}{3}$ 移到积分外。

$(6 + 10 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{20}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$(6 + 10 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{20}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

将 $(6 + 10 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{20}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ 重写为 $4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 8.2.2

将 $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ 乘以 $\frac{20}{3}$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 20}{5 \cdot 3} + C$

解题步骤 8.2.3

将 $20$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{40 x^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

解题步骤 8.2.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{40 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 8.2.5

从 $40 x^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $5$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (8 x^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

解题步骤 8.2.6

约去公因数。

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解题步骤 8.2.6.1

从 $15$ 中分解出因数 $5$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (8 x^{\frac{5}{2}})}{5 (3)} + C$

解题步骤 8.2.6.2

约去公因数。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (8 x^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 3} + C$

解题步骤 8.2.6.3

重写表达式。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

解题步骤 8.2.7

在公分母上合并分子。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{20 x^{\frac{5}{2}} - 8 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

解题步骤 8.2.8

从 $20 x^{\frac{5}{2}}$ 中减去 $8 x^{\frac{5}{2}}$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{12 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

解题步骤 8.2.9

从 $12 x^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (4 x^{\frac{5}{2}})}{3} + C$

解题步骤 8.2.10

约去公因数。

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解题步骤 8.2.10.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (4 x^{\frac{5}{2}})}{3 (1)} + C$

解题步骤 8.2.10.2

约去公因数。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (4 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

解题步骤 8.2.10.3

重写表达式。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{1} + C$

解题步骤 8.2.10.4

用 $4 x^{\frac{5}{2}}$ 除以 $1$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = \sqrt{x} (6 + 10 x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $4 x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}} + C$

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