微积分学示例

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

解题步骤 1

将 $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} d x$

解题步骤 4

使 $x = \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec^{2} (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 为正数。

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

化简 $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ 。

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解题步骤 5.1.1

使用勾股恒等式。

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t)}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $\tan (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5.2.2

将 $\sec (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5.2.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ 。

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5.2.4

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5.2.4.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5.2.5

将 $\frac{1}{\sin (t)}$ 转换成 $\csc (t)$ 。

$\int \csc (t) \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 6

对 $\csc (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \csc^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 7

使用勾股定理，将 $\sec^{2} (t)$ 重写成 $1 + \tan^{2} (t)$ 的形式。

$\int \csc^{1} (t) (1 + \tan^{2} (t)) d t$

解题步骤 8

化简项。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\int \csc^{1} (t) \cdot 1 + \csc^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 8.2

化简每一项。

$\int \csc (t) + \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \csc (t) d t + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 10

$\csc (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ 。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 11

对 $\csc (t)$ 使用倒数恒等式。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 12

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (t)$ 。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} d t$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ 运用乘积法则。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} d t$

解题步骤 13.2

合并。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 {\sin (t)}^{2}}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

解题步骤 13.3

约去 ${\sin (t)}^{2}$ 和 $\sin (t)$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.1

从 $1 {\sin (t)}^{2}$ 中分解出因数 $\sin (t)$ 。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

解题步骤 13.3.2

约去公因数。

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解题步骤 13.3.2.1

从 $\sin (t) {\cos (t)}^{2}$ 中分解出因数 $\sin (t)$ 。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) ({\cos (t)}^{2})} d t$

解题步骤 13.3.2.2

约去公因数。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

解题步骤 13.3.2.3

重写表达式。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 \sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} d t$

解题步骤 13.4

将 $\sin (t)$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

解题步骤 14

乘以 $1$ 。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos^{2} (t)} d t$

解题步骤 15

从 $\cos^{2} (t)$ 中分解出因数 $\cos (t)$ 。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos (t) \cos (t)} d t$

解题步骤 16

分离分数。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} d t$

解题步骤 17

将 $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ 转换成 $\tan (t)$ 。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \frac{1}{\cos (t)} d t$

解题步骤 18

将 $\frac{1}{\cos (t)}$ 转换成 $\sec (t)$ 。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \sec (t) d t$

解题步骤 19

因为 $\sec (t)$ 的导数为 $\tan (t) \sec (t)$ ，所以 $\tan (t) \sec (t)$ 的积分为 $\sec (t)$ 。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \sec (t) + C$

解题步骤 20

化简。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + \sec (t) + C$

解题步骤 21

使用 $\arctan (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$

解题步骤 22

答案是函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$

微积分学 示例

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