微积分学示例

$\frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$

解题步骤 1

将 $\frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$ 书写为一个函数。

$f (u) = \frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (u)$ 的不定积分求函数 $F (u)$ 。

$F (u) = \int f (u) d u$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (u) = \int \frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1 - u^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1 - u^{\frac{1}{2}}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 6

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 7

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 7.3

将负号移到分数的前面。

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\int 1 u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 8.2

将 $u^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 8.3

提取负因数。

$\int u^{- \frac{1}{2}} - (u^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}}) d u$

解题步骤 8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 8.5

在公分母上合并分子。

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1 - 1}{2}} d u$

解题步骤 8.6

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{0}{2}} d u$

解题步骤 8.7

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.7.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{2 (0)}{2}} d u$

解题步骤 8.7.2

约去公因数。

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解题步骤 8.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d u$

解题步骤 8.7.2.2

约去公因数。

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d u$

解题步骤 8.7.2.3

重写表达式。

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{0}{1}} d u$

解题步骤 8.7.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{0} d u$

解题步骤 8.8

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\int u^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 d u$

解题步骤 8.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int u^{- \frac{1}{2}} - 1 d u$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - 1 d u$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - 1 d u$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$2 u^{\frac{1}{2}} + C - u + C$

解题步骤 12

化简。

$2 u^{\frac{1}{2}} - u + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (u) = \frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$ 的不定积分。

$F (u) =$ $2 u^{\frac{1}{2}} - u + C$

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