微积分学示例

$\sqrt{2 - x^{2}}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{2 - x^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sqrt{2 - x^{2}} d x$

解题步骤 4

使 $x = \sqrt{2} \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sqrt{2} \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sqrt{2} \cos (t)$ 为正数。

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

化简 $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $\sqrt{2} \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.2

乘以 $1$ 。

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.3

从 $- ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 ${\sqrt{2}}^{2}$ 。

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.4

从 ${\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ 中分解出因数 ${\sqrt{2}}^{2}$ 。

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.6.4.1

约去公因数。

$\int \sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.6.4.2

重写表达式。

$\int \sqrt{2^{1} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.6.5

计算指数。

$\int \sqrt{2 \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

$\int \sqrt{2 \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.7

将 $2$ 和 $\cos^{2} (t)$ 重新排序。

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 2} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.8

从根式下提出各项。

$\int \cos (t) \sqrt{2} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

解题步骤 5.2.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

解题步骤 5.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

解题步骤 5.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

解题步骤 5.2.5

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) d t$

解题步骤 5.2.6

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) d t$

解题步骤 5.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{2}}^{1 + 1} d t$

解题步骤 5.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{2}}^{2} d t$

解题步骤 5.2.9

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.2.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \cos^{2} (t) {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

解题步骤 5.2.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

解题步骤 5.2.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{2}{2}} d t$

解题步骤 5.2.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.9.4.1

约去公因数。

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{2}{2}} d t$

解题步骤 5.2.9.4.2

重写表达式。

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{1} d t$

解题步骤 5.2.9.5

计算指数。

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2 d t$

解题步骤 5.2.10

将 $2$ 移到 $\cos^{2} (t)$ 的左侧。

$\int 2 \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 7

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t)$ 的形式。

$2 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 9.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 9.2.2

重写表达式。

$1 \int 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 9.3

将 $\int 1 + \cos (2 t) d t$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d t + \int \cos (2 t) d t$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$t + C + \int \cos (2 t) d t$

解题步骤 12

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 12.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 12.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 12.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 12.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 12.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 12.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 13

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

解题步骤 14

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

解题步骤 15

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

解题步骤 16

化简。

$t + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

解题步骤 17

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 17.1

使用 $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

解题步骤 17.2

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t) + C$

解题步骤 17.3

使用 $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

将 $\frac{x}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

解题步骤 18.2

合并和化简分母。

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解题步骤 18.2.1

将 $\frac{x}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

解题步骤 18.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

解题步骤 18.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

解题步骤 18.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

解题步骤 18.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

解题步骤 18.2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 18.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

解题步骤 18.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

解题步骤 18.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

解题步骤 18.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.6.4.1

约去公因数。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

解题步骤 18.2.6.4.2

重写表达式。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

解题步骤 18.2.6.5

计算指数。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

解题步骤 18.3

将 $\frac{x}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})) + C$

解题步骤 18.4

合并和化简分母。

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解题步骤 18.4.1

将 $\frac{x}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})) + C$

解题步骤 18.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})) + C$

解题步骤 18.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})) + C$

解题步骤 18.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})) + C$

解题步骤 18.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})) + C$

解题步骤 18.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 18.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})) + C$

解题步骤 18.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})) + C$

解题步骤 18.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})) + C$

解题步骤 18.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.4.6.4.1

约去公因数。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})) + C$

解题步骤 18.4.6.4.2

重写表达式。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}})) + C$

解题步骤 18.4.6.5

计算指数。

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})) + C$

解题步骤 18.5

重新排序项。

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x)) + C$

解题步骤 19

答案是函数 $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x)) + C$

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