微积分学示例

$19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$

解题步骤 1

将 $19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$ 书写为一个函数。

$f (t) = 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (t)$ 的不定积分求函数 $F (t)$ 。

$F (t) = \int f (t) d t$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (t) = \int 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) d t + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

解题步骤 5

由于 $19.21$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $19.21$ 移到积分外。

$19.21 \int \sin (1.7 t + 0.3) d t + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

解题步骤 6

使 $u_{1} = 1.7 t + 0.3$ 。然后使 $d u_{1} = 1.7 d t$ ，以便 $\frac{1}{1.7} d u_{1} = d t$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{1} = 1.7 t + 0.3$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d t}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $1.7 t + 0.3$ 求导。

$\frac{d}{d t} [1.7 t + 0.3]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $1.7 t + 0.3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$ 。

$\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

解题步骤 6.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [1.7 t]$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

因为 $1.7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1.7 t$ 对 $t$ 的导数是 $1.7 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$1.7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

解题步骤 6.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1.7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.3]$

解题步骤 6.1.3.3

将 $1.7$ 乘以 $1$ 。

$1.7 + \frac{d}{d t} [0.3]$

解题步骤 6.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 6.1.4.1

因为 $0.3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $0.3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$1.7 + 0$

解题步骤 6.1.4.2

将 $1.7$ 和 $0$ 相加。

$1.7$

解题步骤 6.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$19.21 \int \sin (u_{1}) \frac{1}{1.7} d u_{1} + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

解题步骤 7

组合 $\sin (u_{1})$ 和 $\frac{1}{1.7}$ 。

$19.21 \int \frac{\sin (u_{1})}{1.7} d u_{1} + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{1.7}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{1.7}$ 移到积分外。

$19.21 (\frac{1}{1.7} \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{1.7}$ 和 $19.21$ 。

$\frac{19.21}{1.7} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

解题步骤 10

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $- \cos (u_{1})$ 。

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

解题步骤 11

由于 $- 16.32$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 16.32$ 移到积分外。

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 \int \cos (1.7 t + 0.3) d t$

解题步骤 12

使 $u_{2} = 1.7 t + 0.3$ 。然后使 $d u_{2} = 1.7 d t$ ，以便 $\frac{1}{1.7} d u_{2} = d t$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 12.1

设 $u_{2} = 1.7 t + 0.3$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d t}$ 。

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解题步骤 12.1.1

对 $1.7 t + 0.3$ 求导。

$\frac{d}{d t} [1.7 t + 0.3]$

解题步骤 12.1.2

根据加法法则， $1.7 t + 0.3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$ 。

$\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

解题步骤 12.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [1.7 t]$ 。

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解题步骤 12.1.3.1

因为 $1.7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1.7 t$ 对 $t$ 的导数是 $1.7 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$1.7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

解题步骤 12.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1.7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.3]$

解题步骤 12.1.3.3

将 $1.7$ 乘以 $1$ 。

$1.7 + \frac{d}{d t} [0.3]$

解题步骤 12.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 12.1.4.1

因为 $0.3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $0.3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$1.7 + 0$

解题步骤 12.1.4.2

将 $1.7$ 和 $0$ 相加。

$1.7$

解题步骤 12.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 \int \cos (u_{2}) \frac{1}{1.7} d u_{2}$

解题步骤 13

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{1.7}$ 。

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 \int \frac{\cos (u_{2})}{1.7} d u_{2}$

解题步骤 14

由于 $\frac{1}{1.7}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{1.7}$ 移到积分外。

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 (\frac{1}{1.7} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

组合 $\frac{1}{1.7}$ 和 $- 16.32$ 。

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{- 16.32}{1.7} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 15.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - \frac{16.32}{1.7} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 16

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - \frac{16.32}{1.7} (\sin (u_{2}) + C)$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

化简。

$11.3 (- \cos (u_{1})) - \frac{16.32}{1.7} \sin (u_{2}) + C$

解题步骤 17.2

将 $- 1$ 乘以 $11.3$ 。

$- 11.3 \cos (u_{1}) - \frac{16.32}{1.7} \sin (u_{2}) + C$

解题步骤 18

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 18.1

使用 $1.7 t + 0.3$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - \frac{16.32}{1.7} \sin (u_{2}) + C$

解题步骤 18.2

使用 $1.7 t + 0.3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - \frac{16.32}{1.7} \sin (1.7 t + 0.3) + C$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

用 $16.32$ 除以 $1.7$ 。

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - 1 \cdot 9.6 \sin (1.7 t + 0.3) + C$

解题步骤 19.2

将 $- 1$ 乘以 $9.6$ 。

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - 9.6 \sin (1.7 t + 0.3) + C$

解题步骤 20

答案是函数 $f (t) = 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$ 的不定积分。

$F (t) =$ $- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - 9.6 \sin (1.7 t + 0.3) + C$

微积分学 示例

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