微积分学示例

${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int {(1 + \frac{1}{x})}^{2} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ 重写为 $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ 。

$\int (1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x}) d x$

解题步骤 4.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ 。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$\int 1 (1 + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) d x$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$\int 1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) d x$

解题步骤 4.2.3

运用分配律。

$\int 1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.1.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.1.3

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.1.4

乘以 $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 4.3.1.4.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} d x$

解题步骤 4.3.1.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x} d x$

解题步骤 4.3.1.4.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

解题步骤 4.3.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

解题步骤 4.3.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 和 $\frac{1}{x}$ 相加。

$\int 1 + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\int 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$x + C + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$x + C + 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 8

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 9

应用指数的基本规则。

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解题步骤 9.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 9.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 9.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- 2} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) - x^{- 1} + C$

解题步骤 11

化简。

$x + 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $x + 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$

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