微积分学示例

$4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

解题步骤 1

将 $4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 4 \sin^{3} (x) \cos (x) d x$

解题步骤 4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \sin^{3} (x) \cos (x) d x$

解题步骤 5

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 5.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$4 \int u^{3} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$4 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $4 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ 重写为 $4 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ 。

$4 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

解题步骤 7.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{4}{4} u^{4} + C$

解题步骤 7.2.2

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1

约去公因数。

$\frac{4}{4} u^{4} + C$

解题步骤 7.2.2.2

重写表达式。

$1 u^{4} + C$

解题步骤 7.2.3

将 $u^{4}$ 乘以 $1$ 。

$u^{4} + C$

解题步骤 8

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sin^{4} (x) + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\sin^{4} (x) + C$

微积分学 示例

微积分学示例