微积分学示例

$x^{2} {(3 + x)}^{2}$

解题步骤 1

将 $x^{2} {(3 + x)}^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2} {(3 + x)}^{2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{2} {(3 + x)}^{2} d x$

解题步骤 4

展开 $x^{2} {(3 + x)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

将 ${(3 + x)}^{2}$ 重写为 $(3 + x) (3 + x)$ 。

$\int x^{2} ((3 + x) (3 + x)) d x$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\int x^{2} (3 (3 + x) + x (3 + x)) d x$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\int x^{2} (3 \cdot 3 + 3 x + x (3 + x)) d x$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$\int x^{2} (3 \cdot 3 + 3 x + x \cdot 3 + x \cdot x) d x$

解题步骤 4.5

运用分配律。

$\int x^{2} (3 \cdot 3 + 3 x) + x^{2} (x \cdot 3 + x \cdot x) d x$

解题步骤 4.6

运用分配律。

$\int x^{2} (3 \cdot 3) + x^{2} (3 x) + x^{2} (x \cdot 3 + x \cdot x) d x$

解题步骤 4.7

运用分配律。

$\int x^{2} (3 \cdot 3) + x^{2} (3 x) + x^{2} (x \cdot 3) + x^{2} (x \cdot x) d x$

解题步骤 4.8

移动 $x^{2}$ 。

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + x^{2} (3 x) + x^{2} (x \cdot 3) + x^{2} (x \cdot x) d x$

解题步骤 4.9

将 $x^{2}$ 和 $3$ 重新排序。

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + 3 \cdot x^{2} x + x^{2} (x \cdot 3) + x^{2} (x \cdot x) d x$

解题步骤 4.10

将 $x$ 和 $3$ 重新排序。

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + 3 \cdot x^{2} x + x^{2} (3 \cdot x) + x^{2} (x \cdot x) d x$

解题步骤 4.11

将 $x^{2}$ 和 $3$ 重新排序。

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + 3 \cdot x^{2} x + 3 \cdot x^{2} \cdot x + x^{2} (x \cdot x) d x$

解题步骤 4.12

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int 9 x^{2} + 3 x^{2} x + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

解题步骤 4.13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 9 x^{2} + 3 (x^{2} x^{1}) + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

解题步骤 4.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 9 x^{2} + 3 x^{2 + 1} + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

解题步骤 4.15

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

解题步骤 4.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 (x^{2} x^{1}) + x^{2} x \cdot x d x$

解题步骤 4.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{2 + 1} + x^{2} x \cdot x d x$

解题步骤 4.18

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2} x \cdot x d x$

解题步骤 4.19

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2} x^{1} x d x$

解题步骤 4.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2 + 1} x d x$

解题步骤 4.21

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{3} x d x$

解题步骤 4.22

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{3} x^{1} d x$

解题步骤 4.23

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{3 + 1} d x$

解题步骤 4.24

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{4} d x$

解题步骤 4.25

将 $3 x^{3}$ 和 $3 x^{3}$ 相加。

$\int 9 x^{2} + 6 x^{3} + x^{4} d x$

解题步骤 4.26

将 $6 x^{3}$ 和 $x^{4}$ 重新排序。

$\int 9 x^{2} + x^{4} + 6 x^{3} d x$

解题步骤 4.27

移动 $9 x^{2}$ 。

$\int x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 6 x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x$

解题步骤 7

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 \int x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 9 x^{2} d x$

解题步骤 9

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 9 \int x^{2} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 9 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 9 \frac{x^{3}}{3} + C$

解题步骤 11.2.2

组合 $9$ 和 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{9 x^{3}}{3} + C$

解题步骤 11.2.3

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.3.1

从 $9 x^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 (3 x^{3})}{3} + C$

解题步骤 11.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 (3 x^{3})}{3 (1)} + C$

解题步骤 11.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 (3 x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

解题步骤 11.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 x^{3}}{1} + C$

解题步骤 11.2.3.2.4

用 $3 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 3 x^{3} + C$

解题步骤 11.3

重新排序项。

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + 3 x^{3} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = x^{2} {(3 + x)}^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + 3 x^{3} + C$

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