微积分学示例

$\frac{1}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{\tan^{2} (x)}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{\tan^{2} (x)} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)} d x$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}$ 。

$\int {(\frac{1}{\tan (x)})}^{2} d x$

解题步骤 4.3

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int {(\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

解题步骤 4.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\int {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

解题步骤 4.5

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\int \cot^{2} (x) d x$

解题步骤 5

使用勾股定理，将 $\cot^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \csc^{2} (x)$ 的形式。

$\int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$- x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 8

因为 $- \cot (x)$ 的导数为 $\csc^{2} (x)$ ，所以 $\csc^{2} (x)$ 的积分为 $- \cot (x)$ 。

$- x + C - \cot (x) + C$

解题步骤 9

化简。

$- x - \cot (x) + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{\tan^{2} (x)}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- x - \cot (x) + C$

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