微积分学示例

$x^{6} - 2 x^{3} + 1$

解题步骤 1

将 $x^{6} - 2 x^{3} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{6} - 2 x^{3} + 1 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

将 $x^{6}$ 重写为 ${(x^{3})}^{2}$ 。

${(x^{3})}^{2} - 2 x^{3} + 1 = 0$

解题步骤 2.1.2

使 $u = x^{3}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{3}$ 。

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

解题步骤 2.1.3

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

解题步骤 2.1.3.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

解题步骤 2.1.3.3

重写多项式。

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

解题步骤 2.1.3.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 1$ 。

${(u - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 2.1.4

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

${(x^{3} - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

${(x^{3} - 1^{3})}^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

${((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}^{2} = 0$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

${((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}^{2} = 0$

解题步骤 2.2.3.2

一的任意次幂都为一。

${((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{2} = 0$

解题步骤 2.2.4

对 $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ 运用乘积法则。

${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x - 1)}^{2} = 0$

${(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 2.4

将 ${(x - 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 ${(x - 1)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.4.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.5

将 ${(x^{2} + x + 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 ${(x^{2} + x + 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 ${(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x^{2} + x + 1 = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.5.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x^{2} + x + 1 = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.5.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x^{2} + x + 1 = \pm 0$

解题步骤 2.5.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x^{2} + x + 1 = 0$

解题步骤 2.5.2.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5.2.4

将 $a = 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5

化简。

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解题步骤 2.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.6

最终解为使 ${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3

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