微积分学示例

$y = 9 - x$ , $y = 3 x - 3$ , $x = 0$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = - x + 9$ 和 $g (x) = 3 x - 3$ 时， $V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简被积函数。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 ${(- x + 9)}^{2}$ 重写为 $(- x + 9) (- x + 9)$ 。

$V = (- x + 9) (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

解题步骤 2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- x + 9) (- x + 9)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$V = - x (- x + 9) + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.2

运用分配律。

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.3

运用分配律。

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

解题步骤 2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$V = - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$V = - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = 1 x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.4

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$V = x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.5

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$V = x^{2} - 9 x + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.7

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.2

从 $- 9 x$ 中减去 $9 x$ 。

$V = x^{2} - 18 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

解题步骤 2.1.4

将 ${(3 x - 3)}^{2}$ 重写为 $(3 x - 3) (3 x - 3)$ 。

$V = x^{2} - 18 x + 81 - ((3 x - 3) (3 x - 3))$

解题步骤 2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(3 x - 3) (3 x - 3)$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

运用分配律。

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x - 3) - 3 (3 x - 3))$

解题步骤 2.1.5.2

运用分配律。

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x - 3))$

解题步骤 2.1.5.3

运用分配律。

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 2.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 2.1.6.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.6.1.2.1

移动 $x$ 。

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 2.1.6.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 2.1.6.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 2.1.6.1.4

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 2.1.6.1.5

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 2.1.6.1.6

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x + 9)$

解题步骤 2.1.6.2

从 $- 9 x$ 中减去 $9 x$ 。

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 18 x + 9)$

解题步骤 2.1.7

运用分配律。

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2}) - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

解题步骤 2.1.8

化简。

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解题步骤 2.1.8.1

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

解题步骤 2.1.8.2

将 $- 18$ 乘以 $- 1$ 。

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 1 \cdot 9$

解题步骤 2.1.8.3

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

合并 $x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $- 18 x$ 和 $18 x$ 相加。

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} + 0 - 9$

解题步骤 2.2.1.2

将 $x^{2} + 81 - 9 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} - 9$

解题步骤 2.2.2

从 $x^{2}$ 中减去 $9 x^{2}$ 。

$V = - 8 x^{2} + 81 - 9$

解题步骤 2.2.3

从 $81$ 中减去 $9$ 。

$V = - 8 x^{2} + 72$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{0}^{3} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

解题步骤 4

由于 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 8$ 移到积分外。

$V = π (- 8 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$V = π (- 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (- 8 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

解题步骤 8.2

计算 $72 x$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (- 8 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (- 8 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

解题步骤 8.3.2

约去 $27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

解题步骤 8.3.2.2.2

约去公因数。

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

解题步骤 8.3.2.2.3

重写表达式。

$V = π (- 8 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

解题步骤 8.3.2.2.4

用 $9$ 除以 $1$ 。

$V = π (- 8 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

解题步骤 8.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

解题步骤 8.3.4

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

解题步骤 8.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.4.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

解题步骤 8.3.4.2.2

约去公因数。

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

解题步骤 8.3.4.2.3

重写表达式。

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

解题步骤 8.3.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (- 8 (9 - 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

解题步骤 8.3.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (- 8 (9 + 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

解题步骤 8.3.6

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$V = π (- 8 \cdot 9 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

解题步骤 8.3.7

将 $- 8$ 乘以 $9$ 。

$V = π (- 72 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

解题步骤 8.3.8

将 $72$ 乘以 $3$ 。

$V = π (- 72 + 216 - 72 \cdot 0)$

解题步骤 8.3.9

将 $- 72$ 乘以 $0$ 。

$V = π (- 72 + 216 + 0)$

解题步骤 8.3.10

将 $216$ 和 $0$ 相加。

$V = π (- 72 + 216)$

解题步骤 8.3.11

将 $- 72$ 和 $216$ 相加。

$V = π \cdot 144$

解题步骤 8.3.12

将 $144$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = 144 π$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = 144 π$

小数形式：

$V = 452.38934211 \dots$

解题步骤 10

微积分学 示例

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