微积分学示例

$y = 6 - \frac{5}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = - \frac{5 x}{2} + 6$ 时， $V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简被积函数。

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解题步骤 2.1

将 ${(- \frac{5 x}{2} + 6)}^{2}$ 重写为 $(- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$ 。

$V = (- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2} + 6) + 6 (- \frac{5 x}{2} + 6)$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2}) - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2} + 6)$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2}) - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

乘以 $- \frac{5 x}{2} (- \frac{5 x}{2})$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = 1 (\frac{5 x}{2}) \cdot \frac{5 x}{2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.1.2

将 $\frac{5 x}{2}$ 乘以 $1$ 。

$V = \frac{5 x}{2} \cdot \frac{5 x}{2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.1.3

将 $\frac{5 x}{2}$ 乘以 $\frac{5 x}{2}$ 。

$V = \frac{5 x (5 x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.1.4

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$V = \frac{25 x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$V = \frac{25 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.1.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$V = \frac{25 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.1.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = \frac{25 x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.1.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$V = \frac{25 x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.1.9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1

将 $- \frac{5 x}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot (2 (3)) + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.2.3

约去公因数。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot (2 \cdot 3) + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.2.4

重写表达式。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 5 x \cdot 3 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.3

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.4.1

将 $- \frac{5 x}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 6 (\frac{- 5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.4.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 2 (3) (\frac{- 5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.4.3

约去公因数。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 2 \cdot (3 (\frac{- 5 x}{2})) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.4.4

重写表达式。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 3 (- 5 x) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.5

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x - 15 x + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.6

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x - 15 x + 36$

解题步骤 2.3.2

从 $- 15 x$ 中减去 $15 x$ 。

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 30 x + 36$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{0}^{1} \frac{25 x^{2}}{4} d x + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

解题步骤 4

由于 $\frac{25}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{25}{4}$ 移到积分外。

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{25}{4}$ 和 $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$ 。

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

解题步骤 7

由于 $- 30$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 30$ 移到积分外。

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 36 d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 36 d x)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 36 x]_{0}^{1})$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 36 x]_{0}^{1})$

解题步骤 11.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 x]_{0}^{1})$

解题步骤 11.3

计算 $36 x$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4

化简。

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解题步骤 11.4.1

一的任意次幂都为一。

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.3

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 11.4.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.3.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.3.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - 0)}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} + 0)}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.5

将 $\frac{1}{3}$ 和 $0$ 相加。

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.6

组合 $25$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$V = π (\frac{\frac{25}{3}}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.7

将 $\frac{\frac{25}{3}}{4}$ 重写为乘积形式。

$V = π (\frac{25}{3} \cdot \frac{1}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.8

将 $\frac{25}{3}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$V = π (\frac{25}{3 \cdot 4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.9

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.10

一的任意次幂都为一。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.11

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.12

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.12.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.12.2

约去公因数。

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解题步骤 11.4.12.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.12.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.12.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.12.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - 0) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.13

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} + 0) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.14

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.15

组合 $- 30$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 30}{2} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.16

约去 $- 30$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.16.1

从 $- 30$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.16.2

约去公因数。

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解题步骤 11.4.16.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2 (1)} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.16.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.16.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 15}{1} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.16.2.4

用 $- 15$ 除以 $1$ 。

$V = π (\frac{25}{12} - 15 + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.17

要将 $- 15$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$V = π (\frac{25}{12} - 15 \cdot \frac{12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.18

组合 $- 15$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 15 \cdot 12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.19

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{25 - 15 \cdot 12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.20

化简分子。

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解题步骤 11.4.20.1

将 $- 15$ 乘以 $12$ 。

$V = π (\frac{25 - 180}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.20.2

从 $25$ 中减去 $180$ 。

$V = π (\frac{- 155}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.21

将负号移到分数的前面。

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.22

将 $36$ 乘以 $1$ 。

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 - 36 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.23

将 $- 36$ 乘以 $0$ 。

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 + 0)$

解题步骤 11.4.24

将 $36$ 和 $0$ 相加。

$V = π (- \frac{155}{12} + 36)$

解题步骤 11.4.25

要将 $36$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 \cdot \frac{12}{12})$

解题步骤 11.4.26

组合 $36$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$V = π (- \frac{155}{12} + \frac{36 \cdot 12}{12})$

解题步骤 11.4.27

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{- 155 + 36 \cdot 12}{12})$

解题步骤 11.4.28

化简分子。

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解题步骤 11.4.28.1

将 $36$ 乘以 $12$ 。

$V = π (\frac{- 155 + 432}{12})$

解题步骤 11.4.28.2

将 $- 155$ 和 $432$ 相加。

$V = π (\frac{277}{12})$

解题步骤 11.4.29

组合 $π$ 和 $\frac{277}{12}$ 。

$V = \frac{π \cdot 277}{12}$

解题步骤 11.4.30

将 $277$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = \frac{277 π}{12}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{277 π}{12}$

小数形式：

$V = 72.51843042 \dots$

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例