微积分学示例

$y = \sqrt{x - 1}$ , $y = 0$ , $x = 7$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = \sqrt{x - 1}$ 时， $V = π \int_{1}^{7} {(f (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

将 ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ 重写为 $x - 1$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x - 1}$ 重写成 ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$V = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

约去公因数。

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.4.2

重写表达式。

$V = x - 1$

解题步骤 2.5

化简。

$V = x - 1$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{1}^{7} x d x + \int_{1}^{7} - 1 d x)$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$V = π (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} - 1 d x)$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} - 1 d x)$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{7} + - x]_{1}^{7})$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{7}$ 和 $- x]_{1}^{7}$ 。

$V = π \frac{x^{2}}{2} - x]_{1}^{7}$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\frac{x^{2}}{2} - x$ 在 $7$ 处和在 $1$ 处的值。

$V = π ((\frac{7^{2}}{2} - 1 \cdot 7) - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

解题步骤 7.2.2

化简。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = π (\frac{49}{2} - 1 \cdot 7 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$V = π (\frac{49}{2} - 7 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

解题步骤 7.2.2.3

要将 $- 7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$V = π (\frac{49}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

解题步骤 7.2.2.4

组合 $- 7$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$V = π (\frac{49}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

解题步骤 7.2.2.5

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{49 - 7 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

解题步骤 7.2.2.6

化简分子。

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解题步骤 7.2.2.6.1

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$V = π (\frac{49 - 14}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

解题步骤 7.2.2.6.2

从 $49$ 中减去 $14$ 。

$V = π (\frac{35}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

解题步骤 7.2.2.7

一的任意次幂都为一。

$V = π (\frac{35}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1))$

解题步骤 7.2.2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$V = π (\frac{35}{2} - (\frac{1}{2} - 1))$

解题步骤 7.2.2.9

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$V = π (\frac{35}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

解题步骤 7.2.2.10

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$V = π (\frac{35}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

解题步骤 7.2.2.11

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{35}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

解题步骤 7.2.2.12

化简分子。

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解题步骤 7.2.2.12.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$V = π (\frac{35}{2} - \frac{1 - 2}{2})$

解题步骤 7.2.2.12.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$V = π (\frac{35}{2} - \frac{- 1}{2})$

解题步骤 7.2.2.13

将负号移到分数的前面。

$V = π (\frac{35}{2} + \frac{1}{2})$

解题步骤 7.2.2.14

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = π (\frac{35}{2} + 1 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 7.2.2.15

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$V = π (\frac{35}{2} + \frac{1}{2})$

解题步骤 7.2.2.16

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{35 + 1}{2})$

解题步骤 7.2.2.17

将 $35$ 和 $1$ 相加。

$V = π (\frac{36}{2})$

解题步骤 7.2.2.18

约去 $36$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.18.1

从 $36$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (\frac{2 \cdot 18}{2})$

解题步骤 7.2.2.18.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.18.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)})$

解题步骤 7.2.2.18.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1})$

解题步骤 7.2.2.18.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{18}{1})$

解题步骤 7.2.2.18.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$V = π \cdot 18$

解题步骤 7.2.2.19

将 $18$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = 18 π$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = 18 π$

小数形式：

$V = 56.54866776 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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